Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 43
Se for crescente em um intervalo , segue da Definição que com qualquer do intervalo . Use esse resultado nesses exercícios.
Use um recurso gráfico computacional para fazer uma conjectura sobre os tamanhos relativos de e com e prove sua conjectura.
Passo 1
Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, precisamos usar as definições e usos das derivadas.
Nesse caso em questão, temos a sugestão dada para verificar o comportamento e o tamanho das funções através de um gráfico.
Assim, usando a derivada, podemos descobrir qual o comportamento delas, tal que a função é crescente se a sua derivada resultar em um valor maior que dentro de um intervalo aberto.
Passo 2
Então, seguindo o pedido do nosso exercício, foi usado o Software online chamados Desmos para esboçar o gráfico das funções, no qual foi obtido:
Passo 3
Então, através do gráfico feito, podemos ver que para :
Podemos reescrever essa inequação como:
E então obtemos a função que desejamos analisar para provar a nossa conjectura:
Passo 4
Dessa forma, derivando a função:
Vemos que a função é crescente para todos os valores , porque sua derivada é maior ou igual a zero para o intervalo .
Com esse resultado e com a Definição , podemos concluir que:
Visto que:
Então, se , essa inequação pode ser reescrita como:
Portanto:
Resposta
