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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 33

Um fluxo continuo de renda decresce com o tempo e em t anos o rendimento é 1000 ∙ 2 - t .

Ache o valor atual dessa renda, se for usada permanentemente, uma taxa anula de juros de 8 % , compostos continuamente.

Passo 1

Bem, para acharmos o valor atual da renda, devemos fazer a seguinte integral:

V = ∫ 0 + ∞ f t e - i t d t

Onde f t é a função de rendimento.

Então, o que temos que calcualr e:

V = ∫ 0 + ∞ 1000 ∙ 2 - t e - 0,08 t d t

Porque ele disse que a taxa é 8 % , o que faz com que i seja 0,08 .

Podemos fazer:

2 = e ln ⁡ 2

Para unificar a função:

V = ∫ 0 + ∞ 1000 ∙ e ln ⁡ 2 - t e - 0,08 t d t

V = ∫ 0 + ∞ 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 0 + ∞ 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t

Passo 2

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t

Fazendo:

a = - t ln ⁡ 2 + 0,08 → d a = - ln ⁡ 2 + 0,08 d t → d t = - d a ln ⁡ 2 + 0,08

∫ 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t = ∫ - 1000 e a d a ln ⁡ 2 + 0,08 = - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e a + C

Voltando para   x

- 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e a + C = - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - t ln ⁡ 2 + 0,08 + C

∫ 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t = - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - t ln ⁡ 2 + 0,08 + C

Passo 3

O nosso limite vai fiacr:

∫ 0 + ∞ 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1000 ∙ e - t ln ⁡ 2 + 0,08 d t = lim b → + ∞ ⁡ - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - t ln ⁡ 2 + 0,08 0 b

= lim b → + ∞ ⁡ - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - t ln ⁡ 2 + 0,08 - - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - 0 ln ⁡ 2 + 0,08 =

lim b → + ∞ ⁡ - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - t ln ⁡ 2 + 0,08 + 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 = - 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 e - ∞ ln ⁡ 2 + 0,08 + 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 = 0 + 1000 ln ⁡ 2 + 0,08 = 1000 ln ⁡ 2 + 0,08

Logo

V = 1000 ln ⁡ 2 + 0,08

Resposta

V = 1000 ln ⁡ 2 + 0,08

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