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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 1

Nos exercícios 1 a 18, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 ∞ e - x d x

Passo 1

Faala ae, beleza??

Então, vamos só lembrar da condição da integral imprópria ser convergente ou divergente. Se temos a integral:

∫ 0 ∞ e - x d x

Para calculá-la:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x d x

Se esse limite existir e for um número finito, dizemos que a integral converge. Caso contrário, diverge.

Passo 2

Então, temos que calcular esse limite do passo 1:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x d x

Mas, antes disso, vamos calcular o valor dessa integral, só fazer a substituição u = - x → d u = - d x

∫ 0 a e - x d x = - ∫ 0 - a e u d u

Calculando a integral:

- ∫ 0 - a e u d u = - e u 0 - a

= - e - a - ( - e 0 ) = - 1 e a + 1

Certo?

Passo 3

Substituindo esse valor no limite:

lim a → ∞ ⁡ - 1 e a + 1

Temos a → ∞ , então, teremos o denominador explodindo na primeira fração, que vai levá-la a zero:

lim a → ∞ ⁡ - 1 e ∞ + 1 = 1

∴

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x d x = lim a → ∞ ⁡ - 1 e a + 1 = 1

Beleza?? Então, pela definição do passo 1, essa integral converge para 1 .

Resposta

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x d x = 1

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