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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 19

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ - ∞ 0   z   e 2 z   d z

Passo 1

Já identificamos que a integral é imprópria, né ? Então vamos seguir aquele procedimento..

∫ - ∞ 0   z   e 2 z   d z = lim t → - ∞ ⁡     ∫ t 0   z   e 2 z   d z

Resolvendo a integral, usando substituição u = z   d u = d z ⇒   d v =     e 2 z   d z     v = e 2 z 2

  lim t → - ∞ ⁡     ∫ t 0   z   e 2 z   d z =   lim t → - ∞ ⁡     z   e 2 z 2 ​ t 0 -     ∫ t 0 e 2 z 2     d z =     lim t → - ∞ ⁡     z   e 2 z 2 ​ t 0 - e 2 z 4   ​ t 0

Substituindo,

lim t → - ∞ ⁡     z   e 2 z 2 ​ t 0 - e 2 z 4   ​ t 0 =   lim t → - ∞ ⁡     1 4 -   t ⋅ e 2 t 2 -   e 2 t 4 =   lim t → - ∞ ⁡ 1 4 -   lim t → - ∞ ⁡ t ⋅ e 2 t 2 -   lim t → - ∞ ⁡   e 2 t 4 =   1 4 -   lim t → - ∞ ⁡ t ⋅ e 2 t 2 - 0

Mas,

lim t → - ∞ ⁡       t ⋅ e 2 t 2 = 0 ⋅ 0

Usando Lhopital,

lim t → - ∞ ⁡       t ⋅ e 2 t 2 = 1 2 lim t → - ∞ ⁡   t 1 e 2 t = 1 2 lim t → - ∞ ⁡   1 - e 2 t ⋅ 2   e 4 t =   1 4 lim t → - ∞ ⁡ 1 1 e - 2   = 1 4 ⋅ 0 = 0  

Então

lim t → - ∞ ⁡     z   e 2 z 2 ​ t 0 - e 2 z 4   ​ t 0 =   1 4 -   0 - 0 = 1 4

Resposta

Converge para 1 4

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