Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 47
Se , onde e , enontre uma equação da reta tangente ao gráfico de no ponto
Passo 1
Falaaa aí galerinha bonita! Tudo joinha?!!
Bom, nessa questão precisaremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida por:
No ponto
E sabemos que:
E para encontrar a equação da reta tangente a uma dada curva em um ponto específico podemos usar a seguinte relação:
Sendo esse o valor da derivada da função no ponto dado, e e as coordenadas do ponto dado.
Então vamos à luta!!!
Passo 2
Temos que encontrar a equação da reta tangente à curva:
No ponto .
Vamos lá, a gente sabe que a equação da reta tangente é dada por:
Trazendo pro nosso caso então, vamos derivar a função fazendo:
Mas perceba que aqui temos um produto entre uma função que e uma outra função . Sendo assim, devemos usar a regra doproduto.
Sendo
E lembrando que a derivada de é:
Então:
Agora, vamos usar o ponto dado no enunciado
E lembrando que o enunciado nos disse que
Temos:
Então
Esse é o coeficiente angular da nossa reta!
Passo 3
Continuando...
Agora vamos ver quais são os valores de e para substituir na equação da reta.
Para isso, usamos a definição da função e um ponto conhecido.
Sendo
Podemos usar o já que . Assim:
Então:
Assim, nosso pondo será:
Passo 4
Então, montamos a equação da reta tangente como:
Belezinha então! Essa é a equação da reta tangente à função no ponto .