Enunciado

Se t   s for o tempo necessário a uma oscilação completa de um pêndulo simples com l   m , então 4 π 2 l = g t 2 , onde g = 9,8   m / s 2 . Um relógio tendo um pêndulo com 1   m de comprimento adianta 5   m i n por dia. Ache aproximadamente quanto deve aumentar o comprimento do pêndulo para que o relógio seja acertado.

Passo 1

O primeiro passo é identificar quais são as variáveis do problema. É fácil perceber que as variáveis são o comprimento e o tempo (afinal, na equação dada, os demais elementos são sempre constantes. Dessa forma, podemos encontrar a função que relaciona o comprimento do pêndulo com o seu período de oscilação isolando o l :

l t = 1 4 π g t 2

Passo 2

Perceba agora que, tal como algumas outras desse capítulo, essa questão exige uma consideração definida no início da seção, em 4.9 item (2), onde podemos aproximar a variação de uma função y = f ( x ) a partir da variação de x :

∆ y = f ' ( x ) ∆ x

Teremos, portanto, aplicando essa aproximação nas variáveis do problema,

∆ l = d l ( t ) d t ∆ t

Passo 3

A maior dificuldade do problema é justamente encontrar o valor de ∆ t , que é o atraso (ou adiantamento) do relógio durante um único período de oscilação. Ao contrário de algumas outras questões do capítulo, esse valor não está explícito no enunciado (perceba que o valor 5   m i n é o atraso ao longo de um dia todo, e não o atraso em apenas um período).

Perceba que o tamanho do pêndulo é de 1   m , o que nos permite concluir que o seu período de oscilação é de

1 = 1 4 π 9,8 t 2

t = 2 π 9,8   m i n

Assim, sabendo que o número total de minutos em um dia é de 1440   m i n e o relógio atrasa 5   m i n por dia, descobre-se que o número n de oscilações em um dia é n = 1440 + 5 2 9,8 π . Além disso, é natural pensar que o cada período atrasa um mesmo ∆ t , que, no final do dia, ao somar o atraso de todos as oscilações, obtém-se 5   m i n . Portanto, o atraso de um único período deve ser de

∆ t = 5 n   m i n

∆ t = 10 1445 π 9,8   m i n

Passo 4

Chegamos, portanto, em uma equação na qual conhecemos o valor de ∆ t , queremos obter o valor de ∆ l e não sabemos o valor de d l t d t = l ' ( t ) . Por isso, devemos calcular a diferencial de l ( t ) , função tamanho do pêndulo.

l t = 1 4 π g t 2

Derivando em função de r :

l ' t = 1 2 π g t

Passo 5

Finalmente, basta interpretar os valores do problema para saber onde substituir cada dado. Teremos, t = 2 π 9,8   m i n   e ∆ t = 10 1445 π 9,8   m i n   . Substituindo,

∆ l = 1 2 π g t ∆ t

∆ l = 1 2 π 9,8 * 2 π 9,8 * 10 1445 π 9,8

∆ l = 10 1445   c m

Resposta

Simplificando,

∆ l = 2 289   c m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a diferencial da função. y = 1 + t 2
Encontre a diferencial da função. y = x 4 + 5 x
Encontre a diferencial d y Calcule d y para os valores dados de x e d x y = e x 4 ,x = 0 ,d x = 0,1
Encontre a diferencial da função. y = cos ⁡ π x
Encontre a diferencial da função. y = x ln ⁡ x