Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 45
Se o erro possível na medida do volume de um gás for e o erro permitido na pressão for . Ache o tamanho do menor recipiente para o qual é válida a lei de Boyle (Exercício 23 nos Exercícios 3.9).
Passo 1
Para começar a questão, é fácil notar que precisaremos saber da lei de Boyle (voltar ao Exercício 23 nos Exercícios 3.9, caso não lembre), a qual afirma que, para uma transformação isotérmica:
Onde é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, é o número de unidades cúbicas do volume do gás e , uma constante.
Assim, podemos escrever como uma função do volume , da seguinte forma:
Passo 2
Perceba agora que, tal como algumas outras desse capítulo, essa questão exige uma consideração definida no início da seção, em 4.9 item (2), onde podemos aproximar a variação de uma função a partir da variação de :
Teremos, portanto, aplicando essa aproximação nas variáveis do problema,
Passo 3
O passo 3 da resolução é perceber que, diferentemente das anteriores, nessa questão são fornecidos os erros permitidos e queremos descobrir o menor valor de que satisfaz as condições enunciadas.
Passo 4
Chegamos, portanto, em uma equação na qual conhecemos o valor de e de , queremos obter o valor de e não sabemos o valor de . Por isso, devemos calcular a diferencial de , função pressão do recipiente.
Derivando em função de :
Passo 5
Finalmente, basta interpretar os valores do problema para saber onde substituir cada dado. Substituindo,
Resposta
Concluindo, o volume do menor recipiente que atende às condições enunciadas é: