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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.4 - Ex. 34

A grande pirâmide do Faraó Quéops foi construída em calcário no Egito ao longo de um período de tempo de 20 anos de 2580 a.C. a 2560 a.C. Sua base é quadrangular com comprimento de lado de 756   p é s ; sua altura quando foi construída era de 481   p é s . (Foi considerada a estrutura feita pelo homem mais alta do mundo por mais de 3800 anos.) A densidade do calcário é de aproximadamente 150   l b / p é 3 .

  1. Calcule o trabalho total realizado na construção da pirâmide;
  2. Se cada operário trabalho 10   h o r a s durante 20 anos, em 340 dias por ano, e fez 200 pés-lb/h de trabalho ao colocar blocos de calcário no lugar, quantos trabalhadores foram necessários em média para construir a pirâmide?

Passo 1

Opa, temos historinha aqui! O enunciado fala de uma pirâmide do Egito com as seguintes dimensões:

b = 756   f t  

h = 481   f t

Seu material principal é calcário, com uma densidade de 150   l b / p é 3 .

Pra esquematizar, vamos assumir que a pirâmide tem lados lisos:

Da figura, para 0 ≤ x ≤ 378 , a equação para o lado é dada por:

y = a x + b

481 = b

0 = 378 a + 481

a = - 481 378

Assim, a equação da reta é igual a:

y = - 481 378 x + 481

x = - 378 481 y - 481

A sessão transversal horizontal tem comprimento igual a 2 x e a área dela é igual a:

A = 2 x 2 = 4 x 2

A = 4 378 2 481 2 y - 481 2

Uma “fatia” de espessura ∆ y na altura y tem volume igual a ∆ V = A ∆ y   p é 3 e peso 150 ∆ V   p é s . Logo, o trabalho necessário para construir a pirâmide é:

W 1 = ∫ 0 481 150 y ⋅ 4 378 2 481 2 y - 481 2 d y

Passo 2

Vamos resolver a integral e encontrar o valor do trabalho a ser realizado.

W 1 = ∫ 0 481 150 y ⋅ 4 378 2 481 2 y - 481 2 d y = 600 ⋅ 378 2 481 2 ∫ 0 481 y y - 481 2 d y

W 1 = 600 ⋅ 378 2 481 2 ∫ 0 481 y 3 - 2 ⋅ 481 y 2 + 481 2 y   d y

W 1 = 600 ⋅ 378 2 481 2 1 4 y 4 - 2 ⋅ 481 3 y 3 + 481 2 2 y 2 0 481

W 1 = 600 ⋅ 378 2 481 2 481 4 4 - 2 ⋅ 481 4 3 + 481 4 2

Assim,

W 1 = 1,653 × 10 12   f t - l b

Passo 3

Na letra (b) queremos achar o número de trabalhadores necessários. O trabalho feito por ser escrito como:

W 2 = 10 h d i a ⋅ 340   d i a s a n o ⋅ 20   a n o s 1   t r a b a l h a d o r ⋅ 200   f t - l b h o r a   = 1,36 × 10 7 f t - l b t r a b a l h a d o r

Dividindo W 1 por W 2 temos:

W 1 W 2 = n = 1,653 × 10 12 1,36 × 10 7

n = 121536

´Prontinho!

Resposta

  1. W 1 =   1,653 × 10 12   p é s - l b ;
  2. n = 121536 trabalhadores.
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