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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.4 - Ex. 3

Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10 / 1 + x 2 libras em um ponto a x e pés da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés.

Passo 1

Fala aí galerinha!

Por definiçãoDá física, temos que o trabalho feito no movimento de um objeto de a para b pode ser calculado como:

W = lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i * ∆ x = ∫ a b f x d x   ∫ a b f x d x  

A nossa função f é a força dada por f x = 10 / 1 + x 2 , assim podemos escrever que:

W = ∫ 0 9   10 1 + x 2 d x

E os limites de integração tem a ver com a distância percorrida.

Passo 2

Tirando a constante da integral e reescrevendo temos:

∫ 0 9 10 1 + x 2 d x = 10 ∫ 0 9 1 + x - 2   d x  

Aqui podemos usar a substituição:

u = 1 + x

d u d x = 1 → d u = d x

Então:

∫ 1 + x - 2   d x = ∫ u - 2 d x

Passo 3

Lembre-se que a integral de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Integrando:

∫ u - 2 d x = u - 1 - 1 = - 1 u

Voltando pra a variável original e aplicando os limites de integração:

10 - 1 1 + x 0 9 = 1 1 + 9 - 1 1 + 0 = 9

Logo o trabalho realizado da partícula ao longo do eixo x é de W = 9   p é s - l b   .

Resposta

9   p é s - l b

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