Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 11
Uma força de distende uma mola em . Um peso de é atado à mola e o sistema é então imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 vez a velocidade instantânea.
(a) Encontre a equação de movimento se o peso é solto a partir do repouso acima da posição de equilíbrio.
(b) Expresse a equação de movimento na forma dada em (15).
(c) Quando o peso cruza pela primeira vez a posição de equilíbrio se dirigindo para cima?
Passo 1
Falaaa, vamos lá?
(a) Nesse item, temos que montar o nosso problema de valor inicial
Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:
No nosso caso, temos , e como “um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 vez a velocidade instantânea”, temos . Agora vamos encontrar a constante usando a informação de que “Uma força de distende uma mola em ”, ou seja: . Então:
O enunciado também fala que “o peso é solto a partir do repouso acima da posição de equilíbrio”
Então temos:
Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?
Passo 2
(a) Temos:
Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:
Aplicando as condições iniciais, encontramos
Então, nossa solução é
Passo 3
(b) Agora queremos escrever a equação que encontramos na letra (a) no formato da equação (15) do seu livro, fechou?
Temos
A equação (15) do seu livro é assim olha:
E aí, vamos ter:
Pelo nosso , também temos (é o que multiplica o argumento do seno e cosseno) e a fase vai ser dada por:
Então:
Passo 4
(c) Por fim, vamos encontrar quando o peso cruza pela primeira vez a posição de equilíbrio se dirigindo para cima
Temos
Vamos fazer :
(não consideramos o pois ali o peso está se dirigindo para baixo)
Ufa, acabamossss
Resposta
a)
b)
c)