Enunciado

Mostre que a solução do problema de valor inicial

m s ' ' + γ s ' + k s = 0 ,         s t 0 = s 0 ,           s ' t 0 = s 0

Pode ser expressa como a soma s = v + w , em que v satisfaz as condições iniciais v t 0 = s 0 , v ' t 0 = 0 , w satisfaz as condições iniciais w t 0 = 0 , w ' t 0 = s 0 ' , e ambas as funções v e w satisfazem a mesma equação diferencial que s . Esse é outro exemplo de superposição de soluções de problemas mais simples para obter a solução de um problema mais geral.

Passo 1

Da nossa equação, temos que a solução geral do nosso problema é dada por

s t = A cos ⁡ γ t - t 0 + B   s e n   γ t - t 0

E quando aplicada as condições iniciais

s t = s 0 cos ⁡ γ t - t 0 + s 0 ' γ s e n   γ t - t 0

Passo 2

Da solução geral que temos no passo1, tome que

v = s 0 cos ⁡ γ t - t 0

E

w = s 0 ' γ s e n   γ t - t 0

Como soluções da nossa solução geral e que satisfazem os critérios solicitados no enunciado, visto que

v t 0 = s 0 v ' t 0 = 0 w t 0 = 0 w ' t 0 = s 0 '

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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