Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 18
(a) Se e forem seccionalmente contínuas em e se for periódica com período , mostre que e permanecerão limitadas quando .
(b) Se for contínua em e periódica com período , e se e forem seccionalmente contínuas em , mostre que e permanecerão limitadas quando . Se for contínua no intervalo fechado, então será contínua para todo . Por que isso é importante?
(c) Usando o resultado do item (b), mostre que
E
Convergem.
(d) Do resultado no item (c), mostre que a série de Fourier
converge absolutamente para todo .
Passo 1
Vamos começar com o item (a). Se é uma função periódica podemos escrevê-la como uma série de Fourier:
Se derivarmos em relação a :
Para qualquer valor de , as funções e apenas terão valores , 0 e . Então, para o caso em que e :
Como a derivada é seccionalmente contínua em , dentro do intervalo, o que implica é limitada. Analogamente, para o caso em que e :
Usando o mesmo argumento, como a derivada é seccionalmente contínua em , dentro do intervalo, o que implica é limitada.
Passo 2
O item (b) nos pede agora para mostrar que e são limitadas. Seguindo o mesmo raciocínio, vamos começar calculando a segunda derivada de :
Para qualquer valor de , as funções e apenas terão valores , 0 e . Então, para o caso em que e :
Como a segunda derivada é seccionalmente contínua em , dentro do intervalo, o que implica é limitada. Analogamente, para o caso em que e :
Usando o mesmo argumento, como a segunda derivada é seccionalmente contínua em , dentro do intervalo, o que implica é limitada.
Passo 3
O item (c) nos pede para mostrar que os somatórios de e convergem. Pelo relação que encontramos no item (b):
Aplicando o conceito da função módulo :
Quando :
Como os termos tendem a zero para valores muito grandes de , estes não possuem impacto no valor do somatório e, por isso, converge.
Vamos agora usar o resultado do item (b) que encontramos para :
Aplicando o conceito da função módulo :
Quando :
Como os termos tendem a zero para valores muito grandes de , estes não possuem impacto no valor do somatório e, por isso, converge.
Vamos agora o item (d). Ele nos pede para mostrar que a série de Fourier converge para qualquer valor de . Vamos lá!!!
A série de Fourier é uma equação da forma:
As funções e possuem valor máximo de , sendo que quando , , e vice-versa. Certo? Então, o valor máximo da função será:
Ou
Como acabamos de mostrar no item (c):
E
Convergem. Como a função módulo é maior ou igual que a função para todos os valores de , então
Como o somatório dos módulos de e convergem, então
E
Também convergem. Então, a série de Fourier também irá convergir para qualquer valor de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)