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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 10

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

f x = x + 2 , - 2 ≤ x < 0 , 2 - 2 x , 0 ≤ x < 2

f x + 4 = f ( x )

(a) Encontre a série de Fourier da função dada.

(b) Seja e n x = f x - s n ( x ) . Encontre a menor cota superior ou o valor máximo (se existir) de e n ( x ) para n = 10, 20 e 40.

(c) Se possível, encontre o menor n para o qual e n ( x ) ≤ 0,01 para todo x .

Passo 1

O item (a) nos pede para encontrar a série de Fourier para a função periódica:

f x = x + 2 , - 2 ≤ x < 0 , 2 - 2 x , 0 ≤ x < 2

A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Em que a 0 , a n e b n são constantes definidas para cada valor de n = 1 ,   2 ,   … ,   ∞ e, L corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida ( - L ≤ x < L ) .

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = 2 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Substituindo a função f ( x ) :

a 0 = 1 2 ∫ - 2 0 ( x + 2 ) d x + ∫ 0 2 ( 2 - 2 x ) d x

a 0 = 1 2 ∫ - 2 0 x d x + ∫ - 2 0 2 d x + ∫ 0 2 2 d x - ∫ 0 2 2 x d x

a 0 = 1 2 x 2 2 - 2 0 + 2 x - 2 2 - 2 x 2 2 0 2

a 0 = 1 2 0 - 4 2 + 2 2 - - 2 - 2 4 2 - 0

a 0 = 1 2 ( - 2 + 8 - 4 )

a 0 = 1

Agora vamos determinar a n . Ele é dado por:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Aplicando f ( x ) e L ficamos com

a n = 1 2 ∫ - 2 0 ( x + 2 ) cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 2 ( 2 - 2 x ) cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 ∫ - 2 0 x cos ⁡ n π x 2 d x + 2 ∫ - 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x + 2 ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x - 2 ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 2 n π x sen ⁡ n π x 2 - 2 0 - 2 n π ∫ - 2 0 sen ⁡ n π x 2 d x + 4 n π sen ⁡ n π x 2 - 2 2 - 4 n π x sen ⁡ n π x 2 0 2 + 4 n π ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 2 n π 0 - - 2 sen ⁡ - n π + 4 n π 2 cos ⁡ n π x 2 - 2 0 + 4 n π sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π - 4 n π 2 sen ⁡ n π - 0 - 8 n π 2 cos ⁡ n π x 2 0 2

Como n é um inteiro, sen ⁡ n π = 0 , para qualquer valor de n . Então:

a n = 1 2 4 n π 2 cos ⁡ 0 - cos ⁡ - n π - 8 n π 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ 0

a n = 1 2 4 n π 2 1 - cos ⁡ n π - 8 n π 2 cos ⁡ n π - 1

a n = 1 2 4 n π 2 1 - cos ⁡ n π + 8 n π 2 1 - cos ⁡ n π

a n = 6 ( π n ) 2 ( 1 - cos ⁡ n π )

Por fim, vamos calcular b n . Ele é dado por:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Substituindo f ( x ) e L :

b n = 1 2 ∫ - 2 0 ( x + 2 ) sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 2 ( 2 - 2 x ) sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 ∫ - 2 0 x sen ⁡ n π x 2 d x + 2 ∫ - 2 0 sen ⁡ n π x 2 d x + 2 ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x - 2 ∫ 0 2 x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 - 2 n π x cos ⁡ n π x 2 - 2 0 + 2 n π ∫ - 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x - 2 cos ⁡ n π x 2 - 2 2 + 4 n π x cos ⁡ n π x 2 0 2 - 4 n π ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 - 2 n π 0 - - 2 cos ⁡ - n π + 4 n π 2 sen ⁡ n π x 2 - 2 0 - 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π + 4 n π 2 cos ⁡ n π - 0 - 8 n π 2 sen ⁡ n π x 2 0 2

b n = 1 2 - 2 n π 2 cos ⁡ n π + 4 n π 2 ( sen ⁡ 0 - sen ⁡ - n π ) + 4 n π 2 cos ⁡ n π - 8 n π 2 ( sen ⁡ n π - 0 )

b n = 1 2 - 2 n π 2 cos ⁡ n π + 4 n π 2 cos ⁡ n π

b n = 2 n π cos ⁡ n π

Aplicando na função de Fourier:

f x = 1 2 + ∑ n = 1 m 6 ( π n ) 2 1 - cos ⁡ n π cos ⁡ n π x 2 + 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

O termo 1 - cos ⁡ n π terá valor 0 para n par e valor 2 para os n ímpar. Tudo bem? Se não ficou claro, vamos usar o exemplo de n = 1 e n = 2 . Para n = 1 :

cos ⁡ π = - 1 → 1 - cos ⁡ n π = 2

Para n = 2 :

cos ⁡ 2 π = 1 → 1 - cos ⁡ n π = 0

Então, para o somatório da parte cosseno apenas os valores de n ímpar são relevantes. Para garantir que vamos somar apenas os termos ímpares vamos substituir n por 2 n - 1 e, 1 - cos ⁡ n π por 2. Tudo bem?

Então

f x = 1 2 + ∑ n = 1 m 6 ( π ( 2 n - 1 ) ) 2 ( 2 ) cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x 2 + 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

f x = 1 2 + 12 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x 2 2 n - 1 2 + ∑ n = 1 m 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

A função cos ⁡ n π tem valor - 1 para n ímpar e 1 para n par. Então, vamos reescrevê-la como:

cos ⁡ n π = - 1 n

A série de Fourier é:

f x = 1 2 + 12 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x 2 2 n - 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m - 1 n n sen ⁡ n π x 2

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para calcular a diferença entre o valor da função original f ( x ) e a série de Fourier, usando a soma de n = 10 ,   20 e 40 termos. Para fazer isso, iremos usar o Excel para calcular os coeficientes a n e b n e, para realizar o somatório da série de Fourier. Após encontrar os valores da série para x dentro do intervalo original, iremos verificar em qual ponto ocorre o erro máximo.

Para n = 10 : e m á x = e ( 2 ) = 1 , 0304

Para n = 20 : e m á x = e ( 2 ) = 1 , 0152

Para n = 40 : e m á x = e ( 2 ) = 1 , 0076

Passo 3

O item (c) nos pede para verificar se existe um número n de termos que assegurem e n ( x ) ≤ 0,01 para todos os pontos. Para isso, vamos continuar o raciocínio do item (b) e extender o somatório para um maior número de termos. Se olharmos mais de perto para os valores de e ( 2 ) :

Podemos ver que o valor de e ( 2 ) pouco se altera. Então, podemos concluir que não haverá um valor de n que assegure e n < 0,01 .

Resposta

(a) f x = 1 2 + 12 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x 2 2 n - 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m - 1 n n sen ⁡ n π x 2 .

(b) n = 10 : e m á x = e ( 2 ) = 1 , 0304

n = 20 : e m á x = e ( 2 ) = 1,0152

n = 40 : e m á x = e ( 2 ) = 1,0076

(c) Não existe n que assegure e n < 0,01 para todo x .

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