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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 15

Encontre a solução formal do problema de valor inicial

y ' ' + ω 2 y = f ( t ) ,

y 0 = 0 ,

y ' 0 = 0

Em que f é periódica com período 2 π e

f t = 1 , 0 < t < π , 0 , t = 0 , π , 2 π , - 1 , π < t < 2 π

Passo 1

A função f ( t ) é periódica. Então, nosso primeiro passo será escrevê-la como uma série de Fourier. A série de Fourier é uma função da forma:

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π t L + b n sen ⁡ n π t L

Em que a 0 , a n e b n são constantes definidas para cada valor de n = 1 ,   2 ,   … ,   ∞ e, L corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida ( - L ≤ t < L ) . Usamos a série de Fourier como uma representação de uma função periódica g ( t ) qualquer, em que os valores de g ( t ) podem ser aproximados pela somatória de m termos da série f ( t ) . Agora que já relembramos o conceito da série de Fourier, vamos ao exercício.

Nosso primeiro passo será reescrever a função como:

f t = - 1 , - π < t < 0 , 0 , t = 0 , π , 2 π , 1 , 0 < t < π

Então, para a nossa função L = π . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f t d t

Substituindo a função f ( t ) :

a 0 = 1 π ∫ - π 0 - 1 d t + ∫ 0 π 1 d t

a 0 = 1 π ( - t - π 0 + t 0 π )

a 0 = 1 π - 0 + - π + π - 0 )

a 0 = 0

Agora vamos determinar a n . Ele é dado por:

a n = 1 L ∫ - L L f t cos ⁡ n π t L d t

Aplicando f ( t ) e L ficamos com

a n = 1 π ∫ - π 0 - 1 cos ⁡ n t d t + ∫ 0 π 1 cos ⁡ n t d t

a n = 1 π - 1 n sen ⁡ n t - π 0 + 1 n sen ⁡ n t 0 π

a n = 1 π - 1 n ( sen ⁡ 0 - sen ⁡ - n π ) + 1 n sen ⁡ n π - sen ⁡ 0

Como n é um inteiro, sen ⁡ n π = 0 , para qualquer valor de n . Então:

a n = 0

Por fim, vamos calcular b n . Ele é dado por:

b n = 1 L ∫ - L L f t sen ⁡ n π t L d t

Substituindo f ( x ) e L :

b n = 1 π ∫ - π 0 - 1 sen ⁡ n t d t + ∫ 0 π 1 sen ⁡ n t d t

b n = 1 π 1 n cos ⁡ n t - π 0 - 1 n cos ⁡ n t 0 π

b n = 1 π 1 n cos ⁡ 0 - cos ⁡ - n π - 1 n cos ⁡ n π - cos ⁡ 0

b n = 1 π 1 n 1 - cos ⁡ n π - 1 n cos ⁡ n π - 1

b n = 1 π 1 n 1 - cos ⁡ n π + 1 n 1 - cos ⁡ n π

b n = 2 n π 1 - cos ⁡ n π

Aplicando na função:

f t = ∑ n = 1 m 2 n π 1 - cos ⁡ n π sen ⁡ n t

Passo 2

Agora que encontramos f ( t ) , vamos retornar para o problema de valor inicial.

Para encontrar a solução do problema de valor inicial vamos usar uma ferramenta do capítulo 6: a transformada de Laplace. Aplicando a transformada na equação diferencial:

y ' ' + ω 2 y = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t

L y ' ' + ω 2 L ( y ) = L ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + ω 2 Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n s 2 + n 2

s 2 + ω 2 Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n s 2 + n 2

Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) 1 s 2 + ω 2

Antes de continuar vale relembrar que teremos duas soluções: uma para o caso em que ω é diferente de todos os inteiros positivos e, uma para o caso em que ω = m , em que m é um inteiro positivo. Para o primeiro caso:

Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) ω ω s 2 + ω 2

Chamando

F s = ∑ n = 1 ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) → f t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t

G s = ω ω s 2 + ω 2 → g t = 1 ω sen ⁡ ω t

Então

Y s = F s G ( s )

Pelo teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

y t = ∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ 1 ω sen ⁡ ω t d τ

y t = 1 ω ∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = - ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n τ - t cos ⁡ ω τ ω 0 t - n ω ∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n ( t - τ ) cos ⁡ ω τ d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = - 1 ω ∑ n = 1 ∞ b n ( sen ⁡ 0 cos ⁡ ω t - sen ⁡ n t cos ⁡ 0 ) - ∑ n = 1 ∞ b n n ω ∫ 0 t cos ⁡ n ( t - τ ) cos ⁡ ω τ d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n ω 1 ω cos ⁡ n t - τ sen ⁡ ω τ 0 t - n ω ∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n ω 2 ( cos ⁡ 0 sen ⁡ ω t - cos ⁡ n t sen ⁡ 0 )

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ ω 2 - n 2 ω 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ∑ n = 1 ∞ b n ω 2 ω 2 - n 2 sen ⁡ n t ω - n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ∑ n = 1 ∞ b n ( ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ) ( ω 2 - n 2 )

y t = 1 ω ∑ n = 1 ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Substituindo o termo b n que encontramos:

y t = 1 ω ∑ n = 1 ∞ 2 n π 1 - cos ⁡ n π ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

y t = 2 ω π ∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ n π n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Passo 3

Vamos agora para o caso em que ω = m , que é um inteiro positivo. Para este caso, a solução é a mesma, com exceção do termo n = m . O que vamos fazer é retirar este termo do somatório que encontramos para ω diferente de todos os inteiros positivos e, fazê-lo de forma separada.

Então:

y ' ' + m 2 y = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n sen ⁡ n t + b m sen ⁡ m t

L y ' ' + m 2 L y = L ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n sen ⁡ n t + L b m sen ⁡ m t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + m 2 Y s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n s 2 + n 2 + b m m s 2 + m 2

s 2 + m 2 Y s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n s 2 + n 2 + b m m s 2 + m 2

Y s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) 1 s 2 + ω 2 + b m m s 2 + m 2 2

Chamando

F s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) → f t = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n sen ⁡ n t

G s = ω ω s 2 + ω 2 → g t = 1 ω sen ⁡ ω t

H s = b m m s 2 + m 2 → h ( t ) = b m sen ⁡ m t

J s = 1 m m ( m 2 + s 2 ) → j ( t ) = 1 m sen ⁡ m t

Então

Y s = F s G s + H s J ( s )

Pelo teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + ∫ 0 t h t - τ j τ d τ

y t = 1 ω ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + ∫ 0 t b m sen ⁡ m t - τ 1 m sen ⁡ m τ d τ

∫ 0 t b m sen ⁡ m t - τ 1 m sen ⁡ m τ d τ = y t = b m ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ n t ) 2 m 2

E a solução fica:

y t = 1 ω ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + b m ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ m t ) 2 m 2

y t = 2 ω π ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ 1 - cos ⁡ n π n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + 2 m π 1 - cos ⁡ m π ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ m t ) 2 m 2

Resposta

Se ω é diferente de todos os inteiros positivos:

y t = 2 ω π ∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ n π n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Para o caso em que ω = m , em que m é um inteiro positivo:

y t = 2 ω π ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ 1 - cos ⁡ n π n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + 2 m π 1 - cos ⁡ m π ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ m t ) 2 m 2

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