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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 12

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

f x = x - x 3 , - 1 ≤ x < 1

f x + 2 = f ( x )

(a) Encontre a série de Fourier da função dada.

(b) Seja e n x = f x - s n ( x ) . Encontre a menor cota superior ou o valor máximo (se existir) de e n ( x ) para n = 10, 20 e 40.

(c) Se possível, encontre o menor n para o qual e n ( x ) ≤ 0,01 para todo x .

Passo 1

O item (a) nos pede para encontrar a série de Fourier para a função periódica:

f x = x - x 3 , - 1 ≤ x < 1

A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Em que a 0 , a n e b n são constantes definidas para cada valor de n = 1 ,   2 ,   … ,   ∞ e, L corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida ( - L ≤ x < L ) .

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = 1 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Substituindo a função f ( x ) :

a 0 = 1 1 ∫ - 1 1 ( x - x 3 ) d x

a 0 = ∫ - 1 1 ( x - x 3 ) d x

a 0 = x 2 2 - 1 1 - x 4 4 - 1 1

a 0 = 1 2 - 1 2 - 1 4 - 1 4

a 0 = 0

Agora vamos determinar a n . Ele é dado por:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Aplicando f ( x ) e L ficamos com

a n = 1 1 ∫ - 1 1 x cos ⁡ n π x d x - ∫ - 1 1 x 3 cos ⁡ n π x d x

a n = ∫ - 1 1 x cos ⁡ n π x d x - ∫ - 1 1 x 3 cos ⁡ n π x d x

a n = 1 n π x sen ⁡ n π x - 1 1 - 1 n π ∫ - 1 1 sen ⁡ n π x d x - 1 n π x 3 sen ⁡ n π x - 1 1 - 3 n π ∫ - 1 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

a n = 1 n π sen ⁡ n π - - sen ⁡ - n π + 1 n π 2 cos ⁡ n π x - 1 1 - 1 n π sen ⁡ n π - - sen ⁡ - n π - 3 n π ∫ - 1 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

Como n é um inteiro, sen ⁡ n π = 0 , para qualquer valor de n . Então:

a n = 1 n π 2 ( cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π ) + 3 n π ∫ - 1 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

a n = 3 n π ∫ - 1 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

a n = 3 n π - 1 n π ( x 2 cos ⁡ n π x ) - 1 1 + 2 n π ∫ - 1 1 x cos ⁡ n π x d x

a n = 3 n π - 1 n π ( cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π ) + 2 n π ∫ - 1 1 x cos ⁡ n π x d x

a n = 6 n π 2 ∫ - 1 1 x cos ⁡ n π x d x

a n = 6 π n 2 1 n π x sen ⁡ n π x - 1 1 - 1 n π ∫ - 1 1 sen ⁡ n π x d x

a n = 6 π n 2 1 n π sen ⁡ n π - - sen ⁡ - n π + 1 n π 2 cos ⁡ n π x - 1 1

a n = 6 π n 2 1 n π 2 ( cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π )

a n = 0

Por fim, vamos calcular b n . Ele é dado por:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Substituindo f ( x ) e L :

b n = 1 1 ∫ - 1 1 x sen ⁡ n π x d x - ∫ - 1 1 x 3 sen ⁡ n π x d x

b n = ∫ - 1 1 x sen ⁡ n π x d x - ∫ - 1 1 x 3 sen ⁡ n π x d x

b n = - 1 n π x cos ⁡ n π x - 1 1 + 1 n π ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x d x - - 1 n π x 3 cos ⁡ n π x - 1 1 + 3 n π ∫ - 1 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

b n = - 1 n π ( cos ⁡ n π - ( - cos ⁡ - n π ) + 1 n π 2 sen ⁡ n π x - 1 1 - - 1 n π ( cos ⁡ n π - ( - cos ⁡ - n π ) + 3 n π ∫ - 1 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

b n = - 2 n π cos ⁡ n π + 1 n π 2 ( sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π ) - - 2 n π cos ⁡ n π + 3 n π ∫ - 1 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

b n = - 3 n π ∫ - 1 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

b n = - 3 n π 1 n π x 2 sen ⁡ n π x - 1 1 - 2 n π ∫ - 1 1 x sen ⁡ n π x d x

b n = - 3 n π 1 n π sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π - 2 n π ∫ - 1 1 x sen ⁡ n π x d x

b n = 6 n π 2 ∫ - 1 1 x sen ⁡ n π x d x

b n = 6 n π 2 - 1 n π x cos ⁡ n π x - 1 1 + 1 n π ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x d x

b n = 6 n π 2 - 1 n π cos ⁡ n π - - cos ⁡ n π + 1 n π 2 sen ⁡ n π x - 1 1

b n = 6 n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π + 1 n π 2 ( sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π )

b n = - 1 2 n π 3 cos ⁡ n π

Aplicando na função:

f x = ∑ n = 1 m - 12 n π 3 cos ⁡ n π sen ⁡ n π x

Além disso, como a função cos ⁡ n π tem valor - 1 para n ímpar e 1 para n par, podemos reescrevê-la como:

cos ⁡ n π = - 1 n

Nossa série fica:

f x = ∑ n = 1 m - 12 n π 3 - 1 n sen ⁡ n π x

f x = 12 π 3 ∑ n = 1 m - 1 n + 1 n 3 sen ⁡ n π x

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para calcular a diferença entre o valor da função original f ( x ) e a série de Fourier, usando a soma de n = 10 ,   20 e 40 termos. Para fazer isso, iremos usar o Excel para calcular os coeficientes a n e b n e, para realizar o somatório da série de Fourier. Após encontrar os valores da série para x dentro do intervalo original, iremos verificar em qual ponto ocorre o erro máximo.

Para n = 10 : e m á x = e ( ± 0,9 ) = 0 , 0007

Para n = 20 : e m á x = e ( ± 0,9 ) = 0 , 00012

Para n = 40 : e m á x = e ( ± 0,9 ) = 1,8 x 10 - 5

Passo 3

O item (c) nos pede para verificar se existe um número n de termos que assegurem e n ( x ) ≤ 0,01 para todos os pontos. Para isso, vamos continuar o raciocínio do item (b) e extender o somatório para um maior número de termos. Se olharmos mais de perto para os valores de e ( - 0,9 ) :

Podemos ver que entre n = 3 e n = 4 é atingido e n ( x ) ≤ 0,01 , para o ponto de erro máximo. Então, podemos concluir que a soma de 4 termos da série é o suficiente para garantir e n ( x ) ≤ 0,01 para qualquer valor de x .

Resposta

(a) f x = 12 π 3 ∑ n = 1 m - 1 n + 1 n 3 sen ⁡ n π x .

(b) n = 10 : e m á x = e ( - 0,9 ) = e ( 0,9 ) = 0,00 07

n = 20 : e m á x = e ( - 0,9 ) = e ( 0,9 ) = 0,000 12

n = 40 : e m á x = e ( - 0,9 ) = e ( 0,9 ) = 1,8 x 10 - 5

(c) n = 4 é o suficiente para assegurar e n ( x ) ≤ 0,01 para todos os valores de x .

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