Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = x - x 3 , - 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Encontre a série de Fourier da função dada.(b) Seja e n x = f x - s n ( x ) . Encontre a menor cota superior ou o valor máximo (se existir) de e n ( x ) para n = 10, 20 e 40.(c) Se possível, encontre o menor n para o qual e n ( x ) ≤ 0,01 para todo x .

(a) f x = 12 π 3 ∑ n = 1 m - 1 n + 1 n 3 sen ⁡ n π x .(b) n = 10 : e m á x = e ( - 0,9 ) = e ( 0,9 ) = 0,00 07 á n = 20 : e m á x = e ( - 0,9 ) = e ( 0,9 ) = 0,000 12 á n = 40 : e m á x = e ( - 0,9 ) = e ( 0,9 ) = 1,8 x 10 - 5 á (c) n = 4 é o suficiente para assegurar e n ( x ) ≤ 0,01 para todos os valores de x .

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 12

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

(a) Encontre a série de Fourier da função dada.

(b) Seja . Encontre a menor cota superior ou o valor máximo (se existir) de para 10, 20 e 40.

(c) Se possível, encontre o menor para o qual para todo .

Passo 1

O item (a) nos pede para encontrar a série de Fourier para a função periódica:

A série de Fourier é uma equação da forma:

Em que e são constantes definidas para cada valor de e, corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida .

Precisamos então obter os termos e . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como . Então, para a nossa função . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente é definido por:

Substituindo a função :

Agora vamos determinar . Ele é dado por:

Aplicando e ficamos com

Como é um inteiro, , para qualquer valor de . Então:

Por fim, vamos calcular . Ele é dado por:

Substituindo e :

Aplicando na função:

Além disso, como a função tem valor para ímpar e 1 para par, podemos reescrevê-la como:

Nossa série fica:

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para calcular a diferença entre o valor da função original e a série de Fourier, usando a soma de e termos. Para fazer isso, iremos usar o Excel para calcular os coeficientes e e, para realizar o somatório da série de Fourier. Após encontrar os valores da série para dentro do intervalo original, iremos verificar em qual ponto ocorre o erro máximo.

Para :

Passo 3

O item (c) nos pede para verificar se existe um número de termos que assegurem para todos os pontos. Para isso, vamos continuar o raciocínio do item (b) e extender o somatório para um maior número de termos. Se olharmos mais de perto para os valores de :

Podemos ver que entre e é atingido , para o ponto de erro máximo. Então, podemos concluir que a soma de 4 termos da série é o suficiente para garantir para qualquer valor de .

Resposta

(a) .

(b) :

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