Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 17

Supondo que

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) ,

Mostre, formalmente, que

(1)/(L) int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ( a_n^2 + b_n^2 )

Passo 1

O exercício nos apresenta uma série de Fourier e, a partir dela devemos chegar à relação:

(1)/(L) int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ( a_n^2 + b_n^2 )

Para isso, vamos começar calculando [f (x)]^2 :

[f (x)]^2 = f (x) f ( x )

[f (x)]^2 = ((a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L))) ((a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)))

[f (x)]^2 = (a_0^2)/(4) + a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L))^2

[f (x)]^2 = (a_0^2)/(4) + a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 cos^2 (n pi x)/(L) + b_n^2 sen^2 (n pi x)/(L) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L))

Passo 2

Nosso próximo passo será aplicar a integral de - L a L :

int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = int_(- L)^L ((a_0^2)/(4) + a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 cos^2 (n pi x)/(L) + b_n^2 sen^2 (n pi x)/(L) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L))) d x

Para calcular a integral vamos calcular os termos separadamente. Começando com:

int_(- L)^L (a_0^2)/(4) d x =

(a_0^2)/(4) (x|_(- L)^L =

(a_0^2)/(4) ( L - (- L) = (a_0^2)/(4) (2 L) = (a_0^2)/(2) L

Nosso próximo termo é:

int_(- L)^L a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) d x = a_0 sum_(n = 1)^(oo) ((a_n (L)/(n pi) s en (n pi x)/(L) - b_n (L)/(n pi) cos (n pi x)/(L))|_(- L)^L

= a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n (L)/(n pi) s en n pi - b_n (L)/(n pi) cos n pi - a_n (L)/(n pi) s en - n pi + b_n (L)/(n pi) cos - n pi)

= a_0 sum_(n = 1)^(oo) (- b_n (L)/(n pi) cos n pi + b_n (L)/(n pi) cos - n pi)

= a_0 sum_(n = 1)^(oo) (- b_n (L)/(n pi) cos n pi + b_n (L)/(n pi) cos n pi) = 0

Passo 3

Oúltimo termo da integral é:

int_(- L)^L sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 cos^2 (n pi x)/(L) + b_n^2 sen^2 (n pi x)/(L) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) d x =

= int_(- L)^L sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2 (1 + cos (2 n pi x)/(L)))/(2) + (b_n^2 (1 - cos (2 n pi x)/(L)))/(2) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) d x

Pela relação de Euler-Fourier:

int_(- L)^L cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L) d x = 0

Sobram então:

sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2)/(2) ((x + (L)/(2 n pi) sen (2 n pi x)/(L))|_(- L)^L + (b_n^2)/(2) ((x - (L)/(2 n pi) sen (2 n pi x)/(L))|_(- L)^L + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) =

= sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2)/(2) (L - (- L) + (L)/(2 n pi) sen 2 n pi - ((- L))/(2 n pi) sen - 2 n pi) + (b_n^2)/(2) (L - (- L) - (L)/(2 n pi) sen 2 n pi + ((- L))/(2 n pi) sen - 2 n pi))

= sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2)/(2) (2 L) + (b_n^2)/(2) (2 L)) = L sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 + b_n^2)

Então substituindo na integral de [f (x)]^2 :

int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) L + L sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 + b_n^2)

Dividindo por L :

(1)/(L) int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 + b_n^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial y ' ' + ω 2 y = sen ⁡ n t , y 0 = 0 , y ' 0 = 0 Em que n é um inteiro positivo e ω 2 ≠ n 2 . O que acontece se ω 2 = n 2 ?
Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = 0 , - π ≤ x0 , x , 0 ≤ xπ (a) Encontre a série de Fourier de função estendida.(b) Esboce o gráfico da funç
Encontre a solução formal do problema de valor inicial y ' ' + ω 2 y = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t , y 0 = 0 , y ' 0 = 0 Em que ω0 é diferente de todos os inteiros positivos. Como essa solução é modificad
Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = 0 , - π ≤ x- π / 2 , 1 , - π / 2 ≤ xπ / 2 , 0 , π / 2 ≤ xπ (a) Encontre a série de Fourier de função esten
Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = 1 - x 2 , - 1 ≤ x1 (a) Encontre a série de Fourier de função estendida.(b) Esboce o gráfico da função para