Supondo que

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L ,

Mostre, formalmente, que

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Passo 1

O exercício nos apresenta uma série de Fourier e, a partir dela devemos chegar à relação:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Para isso, vamos começar calculando f x 2 :

f x 2 = f x f ( x )

f x 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

f x 2 = a 0 2 4 + a 0 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L 2

f x 2 = a 0 2 4 + a 0 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L + ∑ n = 1 ∞ a n 2 cos 2 ⁡ n π x L + b n 2 sen 2 ⁡ n π x L + 2 a n b n cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L

Passo 2

Nosso próximo passo será aplicar a integral de - L a L :

∫ - L L f x 2 d x = ∫ - L L a 0 2 4 + a 0 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L + ∑ n = 1 ∞ a n 2 cos 2 ⁡ n π x L + b n 2 sen 2 ⁡ n π x L + 2 a n b n cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L d x

Para calcular a integral vamos calcular os termos separadamente. Começando com:

∫ - L L a 0 2 4 d x =

a 0 2 4 x - L L =

a 0 2 4 ( L - - L = a 0 2 4 2 L = a 0 2 2 L

Nosso próximo termo é:

∫ - L L a 0 ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L d x = a 0 ∑ n = 1 ∞ a n L n π s en ⁡ n π x L - b n L n π cos ⁡ n π x L - L L

= a 0 ∑ n = 1 ∞ a n L n π s en ⁡ n π - b n L n π cos ⁡ n π - a n L n π s en ⁡ - n π + b n L n π cos ⁡ - n π

= a 0 ∑ n = 1 ∞ - b n L n π cos ⁡ n π + b n L n π cos ⁡ - n π

= a 0 ∑ n = 1 ∞ - b n L n π cos ⁡ n π + b n L n π cos ⁡ n π = 0

Passo 3

Oúltimo termo da integral é:

∫ - L L ∑ n = 1 ∞ a n 2 cos 2 ⁡ n π x L + b n 2 sen 2 ⁡ n π x L + 2 a n b n cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L d x =

= ∫ - L L ∑ n = 1 ∞ a n 2 1 + cos ⁡ 2 n π x L 2 + b n 2 1 - cos ⁡ 2 n π x L 2 + 2 a n b n cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L d x

Pela relação de Euler-Fourier:

∫ - L L cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L d x = 0

Sobram então:

∑ n = 1 ∞ a n 2 2 x + L 2 n π sen ⁡ 2 n π x L - L L + b n 2 2 x - L 2 n π sen ⁡ 2 n π x L - L L + 2 a n b n cos ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L =

= ∑ n = 1 ∞ a n 2 2 L - - L + L 2 n π sen ⁡ 2 n π - - L 2 n π sen ⁡ - 2 n π + b n 2 2 L - - L - L 2 n π sen ⁡ 2 n π + - L 2 n π sen ⁡ - 2 n π

= ∑ n = 1 ∞ a n 2 2 2 L + b n 2 2 2 L = L ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Então substituindo na integral de f x 2 :

∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 L + L ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Dividindo por L :

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados