Supondo que f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) , Mostre, formalmente, que (1)/(L) int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ( a_n^2 + b_n^2 ) Passo 1O exercício nos apresenta uma série de Fourier e, a partir dela devemos chegar à relação: (1)/(L) int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ( a_n^2 + b_n^2 ) Para isso, vamos começar calculando [f (x)]^2 : [f (x)]^2 = f (x) f ( x ) [f (x)]^2 = ((a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L))) ((a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L))) [f (x)]^2 = (a_0^2)/(4) + a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L))^2 [f (x)]^2 = (a_0^2)/(4) + a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 cos^2 (n pi x)/(L) + b_n^2 sen^2 (n pi x)/(L) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) Passo 2Nosso próximo passo será aplicar a integral de - L a L : int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = int_(- L)^L ((a_0^2)/(4) + a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 cos^2 (n pi x)/(L) + b_n^2 sen^2 (n pi x)/(L) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L))) d x Para calcular a integral vamos calcular os termos separadamente. Começando com: int_(- L)^L (a_0^2)/(4) d x = (a_0^2)/(4) (x|_(- L)^L = (a_0^2)/(4) ( L - (- L) = (a_0^2)/(4) (2 L) = (a_0^2)/(2) L Nosso próximo termo é: int_(- L)^L a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sen (n pi x)/(L)) d x = a_0 sum_(n = 1)^(oo) ((a_n (L)/(n pi) s en (n pi x)/(L) - b_n (L)/(n pi) cos (n pi x)/(L))|_(- L)^L = a_0 sum_(n = 1)^(oo) (a_n (L)/(n pi) s en n pi - b_n (L)/(n pi) cos n pi - a_n (L)/(n pi) s en - n pi + b_n (L)/(n pi) cos - n pi) = a_0 sum_(n = 1)^(oo) (- b_n (L)/(n pi) cos n pi + b_n (L)/(n pi) cos - n pi) = a_0 sum_(n = 1)^(oo) (- b_n (L)/(n pi) cos n pi + b_n (L)/(n pi) cos n pi) = 0 Passo 3Oúltimo termo da integral é: int_(- L)^L sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 cos^2 (n pi x)/(L) + b_n^2 sen^2 (n pi x)/(L) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) d x = = int_(- L)^L sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2 (1 + cos (2 n pi x)/(L)))/(2) + (b_n^2 (1 - cos (2 n pi x)/(L)))/(2) + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) d x Pela relação de Euler-Fourier: int_(- L)^L cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L) d x = 0 Sobram então: sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2)/(2) ((x + (L)/(2 n pi) sen (2 n pi x)/(L))|_(- L)^L + (b_n^2)/(2) ((x - (L)/(2 n pi) sen (2 n pi x)/(L))|_(- L)^L + 2 a_n b_n cos (n pi x)/(L) sen (n pi x)/(L)) = = sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2)/(2) (L - (- L) + (L)/(2 n pi) sen 2 n pi - ((- L))/(2 n pi) sen - 2 n pi) + (b_n^2)/(2) (L - (- L) - (L)/(2 n pi) sen 2 n pi + ((- L))/(2 n pi) sen - 2 n pi)) = sum_(n = 1)^(oo) ((a_n^2)/(2) (2 L) + (b_n^2)/(2) (2 L)) = L sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 + b_n^2) Então substituindo na integral de [f (x)]^2 : int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) L + L sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 + b_n^2) Dividindo por L : (1)/(L) int_(- L)^L [f (x)]^2 d x = (a_0^2)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a_n^2 + b_n^2) RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosEncontre a solução do problema de valor inicialy'' + ω² y = sen(nt) y(0) = 0, y'|0 = 0 Em que n é um inteiro positivo e ω² ≠ n² . O que acontece se ω² = n² ?Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = 0 , - π ≤ x0 , x , 0 ≤ xπ (a) Encontre a série de Fourier de função estendida.(b) Esboce o gráfico da funçEncontre a solução formal do problema de valor inicial y ' ' + ω 2 y = ∑ n = 1 ∞ b n sen n t , y 0 = 0 , y ' 0 = 0 Em que ω0 é diferente de todos os inteiros positivos. Como essa solução é modificadSuponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = 0 , - π ≤ x- π / 2 , 1 , - π / 2 ≤ xπ / 2 , 0 , π / 2 ≤ xπ (a) Encontre a série de Fourier de função estenSuponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. f x = 1 - x 2 , - 1 ≤ x1 (a) Encontre a série de Fourier de função estendida.(b) Esboce o gráfico da função paraVer TambémVer Livro Boyce - Equações Diferenciais Ver tudo sobre Série de Fourier e EDPLista de exercícios de Teorema da Convergência de FourierVer exercício 10.3 - 18Ver exercício 10.4 - 36