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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 28

Fórmula que calcula T a partir de B e v - Se começarmos com a definição τ = - d B d s ∙ N e aplicarmos a regra da cadeia para reescrever d B / d s como

d B d s = d B d t ∙ d t d s = d B d t 1 v

Chegaremos à fórmula

τ = - 1 v d B d t ∙ N

A vantagem dessa fórmula sobre a Equação 5 é que ela é mais fácil de ser deduzida e escrita. A desvantagem é que pode dar bastante trabalho avaliá-la sem um computador. Utilize a nova fórmula para encontrar a torção da hélice no Exercício 26.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A hélice é dada com a seguinte parametrização:

γ = a cos ⁡ t , a sen ⁡ t , b t

Nós sabemos que temos o seguinte fato

T = v v

Onde v = γ ' t = ( - a sen ⁡ t , a cos ⁡ t , b ) . Com isso, nós temos que

T = 1 a 2 + b 2 - a sen ⁡ t , a cos ⁡ t , b

Agora, nós vamos encontrar o vetor binormal

B = T × N = 1 a 2 + b 2 b sen ⁡ t , - b cos ⁡ t , a

Finalmente encontramos B ' e combinamos tudo com a fórmula dada como na tarefa:

B ' = 1 a 2 + b 2 b cos ⁡ t , b s en ⁡ t , 0

Agora use a fórmula que nos foi dada na tarefa para obter:

τ = b a 2 + b 2

Resposta

τ = b a 2 + b 2

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