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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 11

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

11. r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 k

Vamos derivar a expressão

r ' t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t i + e t cos ⁡ t + sen ⁡ t j + 0 k

Com isso, a magnitude pode ser calculada da seguinte forma

r ' t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 + 0 2 = e t 2

Lembrando que

T t = r ' t r ' t

Com isso, nós temos que

T t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t i + e t cos ⁡ t + sen ⁡ t j + 0 k e t 2 = 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t i + 1 2 ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) j + 0   k

Novamente, derivando o termo T

T ' t = 1 2 - s en ⁡ t - cos ⁡ t i + 1 2 ( cos ⁡ t - s en ⁡ t ) j + 0   k

Encontrando a magnitude

T ' ( t ) = 1 2 - sen ⁡ t - cos ⁡ t 2 + 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + 0 2 = 1

Passo 2

Já temos o termo T , agora vamos em busca de N , que é dado da seguinte forma

N t = T ( t ) T ' ( t )

Substituindo os valores, nós temos que

N t = 1 2 - sen ⁡ t - cos ⁡ t i + 1 2 ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) j + 0   k 1 = 1 2 - sen ⁡ t - cos ⁡ t i + 1 2 ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) j + 0   k

E para B = T × N

B = i j k cos ⁡ t - sen ⁡ t - sen ⁡ t + cos ⁡ t 0 - sen ⁡ t - cos ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 = 1 2 k cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 = k

Já para o caso de τ , que é um pouquinho mais complicado, já que envolve derivadas, é dada da seguinte forma

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' i j k x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' 2

Substituindo os valores...

x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) e t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) 0 e t ( - 2 sen ⁡ t ) e t ( 2 cos ⁡ t ) 0 e t ( - 2 sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t ) e t ( 2 cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t ) 0 = 0

Passo 3

Portanto,

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = 0 v × a 2 = 0

Resposta

B = k

τ = 0

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