Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.

r t = 6 t 5 , 4 t 3 , 2 t ,                           t = 1

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Vamos resolver essa atividade juntos hoje.

O vetor tangente unitário de uma função vetorial é dado por

T t = r ' t r ' t

Por isso, devemos determinar o módulo e valor do vetor tangente no ponto t = 1 .

Assim, primeiramente, vamos determinar o vetor tangente r ' t derivando o vetor original r t .

Depois iremos encontrar r ' 1 , fazemos isso substituindo o valor de t = 1 na derivada que encontramos.

Após isso, nos falta apenas encontrar o modulo do vetor r ' t e então jogaremos tudo na fórmula, pois teremos em mãos r ' 1 e r ' 1 , depois é só correr para o abraço.

Passo 2

Primeiro devemos derivar e encontrar o vetor tangente r ' t :

r t = 6 t 5 , 4 t 3 , 2 t

r ' t = d d t 6 t 5 ,   d d t 4 t 3 ,   d d t 2 t

Então realizando as derivadas trigonométricas:

r ' t = ( 30 t 4 ,   12 t 2 ,   2 )

Para t = 1 , temos:

r ' 1 = ( 30 ,   12 ,   2 )

Agora que já determinamos o valor do vetor tangente no ponto dado, podemos calcular seu módulo nesse mesmo ponto:

r ' t = 30 t 4 2 + 12 t 2 2 + 2 2    

Para r ' 1 :

r ' 1 = 30 2 + 12 2 + 2 2

r ' 1 = 1048

Simplificando:

r ' 1 = 2 262

Passo 3

Por fim, só falta substituir os valores calculados na fórmula do vetor tangente unitário T ( t ) :

T 1 = 1 r ' 1 ⋅ r ' ( 1 )

Colocando os valores que encontramos:

T 1 = 1 2 262 ⋅ ( 30 ,   12 ,   2 )

Multiplicando e simplificando:

T 1 = 15 262 , 6 262 , 1 262

Resposta

T 1 = 15 262 , 6 262 , 1 262

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