Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 17
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
Passo 1
Olá, meu querido aluno. Vamos resolver essa atividade juntos hoje.
O vetor tangente unitário de uma função vetorial é dado por
Por isso, devemos determinar o módulo e valor do vetor tangente no ponto .
Assim, primeiramente, vamos determinar o vetor tangente derivando o vetor original .
Depois iremos encontrar , fazemos isso substituindo o valor de na derivada que encontramos.
Após isso, nos falta apenas encontrar o modulo do vetor e então jogaremos tudo na fórmula, pois teremos em mãos e , depois é só correr para o abraço.
Passo 2
Primeiro devemos derivar e encontrar o vetor tangente :
Então realizando as derivadas trigonométricas:
Para , temos:
Agora que já determinamos o valor do vetor tangente no ponto dado, podemos calcular seu módulo nesse mesmo ponto:
Para :
Simplificando:
Passo 3
Por fim, só falta substituir os valores calculados na fórmula do vetor tangente unitário :
Colocando os valores que encontramos:
Multiplicando e simplificando: