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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 40

Calcule a integral.

∫ cos ⁡ π t   i + s e n   π t   j + t   k d t

Passo 1

Fala ai pessoal! Tudo tranquilo por ai?

Vamos resolver uma questão de integral simples, a questão pede para resolvermos apenas. Começaremos separando os termos e calculando as integrais individualmente.

Bora lá! 😊

Passo 2

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes.Temos

∫ cos ⁡ π t   i + s e n   π t   j + t   k d t

Separando os termos

= ∫ c o s   π t   d t i + ∫ s e n   π t   d t j + ∫ t   d t k

Passo 3

Primeira integral

∫ c o s   π t   d t   i

Vamos fazer a substituição u = π t . Neste caso, a derivada de u em relação a t é d u = π   d t , ou seja, d t = d u π .

Substituindo cos ⁡ π t e d t na integral por cos ⁡ u   e d u π , respectivamente.

∫ c o s   π t   d t = ∫ c o s   u . d u π

Simplificando podemos resolver

∫ c o s   u . d u π = 1 π ∫ c o s   u . d u

= 1 π s e n   u

Podemos reverter a substituição

1 π s e n   π t

Passo 4

Segunda Integral

∫ s e n   π t   d t   j

Vamos aplicar o mesmo procedimento feito no Passo 2 . Substituindo u = π t . Neste caso, a derivada de u em relação a t é d u = π   d t , ou seja, d t = d u π .

Substituindo cos ⁡ π t e d t na integral por sen ⁡ u   e d u π , respectivamente.

∫ s e n   π t   d t = ∫ s e n   u . d u π

Simplificando podemos resolver

∫ s e n   u . d u π = 1 π ∫ s e n   u . d u

= - 1 π c o s   u

Podemos reverter a substituição

- 1 π c o s   π t

Passo 5

Terceira e última integral

∫ t   d t   k

= t 2 2 k

Passo 6

Prontinho, calculamos cada parte! 😊

Agora é só juntar tudo e nossa integral fica desse jeito

∫ cos ⁡ π t   i + s e n   π t   j + t   k d t = 1 π s e n   π t   i - 1 π c o s   π t   j + t 2 2 k

Resposta

1 π s e n   π t   i - 1 π c o s   π t   j + t 2 2   k + C

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Demonstre a fórmula 6 do Teorema 3.(d)/(d t) [u (f ( t ))] = f^' (t) u^' (f ( t ))
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Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição r (t) esta sempre perpendicular ao vetor tangente r ' ( t ) , mostre que essa curva está em uma esfera com centro na origem.
Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3.(d)/(d t) [u (t) xx v ( t )] = u^' (t) xx v ( t ) + u (t) xx v ' ( t )
Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar d d t [ u t × v t ]