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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 10

Em cada um dos problemas de7 a 12,encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t   =   0,5 ; 1,0 ; 1,5   e   2,0 .

(a) Useo método de Euler com h   =   0,025 .  

(b) Useo método de Euler com h   =   0,0125 .

(c) Useo método de Euler inverso com h   =   0,025 .

(d) Useo método de Euler inverso com h   =   0,0125 .

10. y ' = 2 t + e - t y   ,           y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pro nosso probleminha!

a) Olha só! A fórmula de E u l e r   tem a seguinte cara:

y n + 1 = y n + h 2 t n + e - t n y n

Só que...

t n = t 0 + n h

É claro, pra facilitar a nossa vida, temos que...

t 0 = 0

O que nos leva à...

y n + 1 = y n + h 2 n h + e - n h y n

y n + 1 = y n + 2 n h 2 + h e - n h y n

Onde sabemos que...

y 0 = 1

Desse modo, vamos fazer os cálculos...

Para y 0,025 :

y 0,025 = y 0 + 2 n h 2 + h e - n h y n

y 0,025 = 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0,025 2 + 0,025 ⋅ e - 0 ⋅ 0,025 ⋅ y n

y 0,025 = 1 , 025

Para y 0,050 :

y 0,050 = y 0,025 + 2 n h 2 + h e - n h y n

y 0,050 = 1 , 025 + 2 ⋅ 1 ⋅ ( 0,025 ) 2 + 0,025 ⋅ e - 1 ⋅ 0,025 ⋅ 1 , 025

y 0,025 = 1,050617

Para y 0,075 :

y 0,075 = 1,050617 + 2 ⋅ 2 ⋅ ( 0,025 ) 2 + 0,025 ⋅ e - 2 ⋅ 0,025 ⋅ 1 , 050617

y 0,075 = 1,076838

Continuando nossa iterações até chegar no valor de n , para o qual t = 2 , obtemos a seguinte tabela...

Passo 2

b) Olha só! A fórmula de E u l e r   tem a seguinte cara:

y n + 1 = y n + h 2 t n + e - t n y n

Só que...

t n = t 0 + n h

É claro, pra facilitar a nossa vida, temos que...

t 0 = 0

O que nos leva à...

y n + 1 = y n + h 2 n h + e - n h y n

y n + 1 = y n + 2 n h 2 + h e - n h y n

Onde sabemos que...

y 0 = 1

Desse modo, vamos fazer os cálculos... Só que dessa vez, h = 0,0125

Para y 0,0125 :

y 0,0125 = y 0 + 2 n h 2 + h e - n h y n

y 0,0125 = 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0,0125 2 + 0,0125 ⋅ e - 0 ⋅ 0,0125 ⋅ y n

y 0,0125 = 1 , 0125

Para y 0,0250 :

y 0,0250 = y 0,0125 + 2 n h 2 + h e - n h y n

y 0,0250 = 1 , 0125 + 2 ⋅ 1 ⋅ ( 0,0125 ) 2 + 0,0125 ⋅ e - 1 ⋅ 0,0125 ⋅ 1 , 0125

y 0,0250 = 1,025155

Para y 0,0 3 75 :

y 0,0 3 75 = 1,025155 + 2 ⋅ 2 ⋅ ( 0,0 1 25 ) 2 + 0,0 1 25 ⋅ e - 2 ⋅ 0,025 ⋅ 1 , 025155

y 0,0 3 75 = 1,037964

Continuando nossa iterações até chegar no valor de n para o qual t = 2 , obtemos a seguinte tabela...

Passo 3

c) Para fazer o método de Euler inverso, temos que pegar a seguinte relação abaixo...

y n + 1 = y n + h 2 t n + 1 + e - t n + 1 y n + 1

E como sabemos da condição inicial...

t 0 = 0

E também que no método inverso, devemos fazer...

t n + 1 = n + 1 h

Nossa relação vai ficar assim...

y n + 1 = y n + 2 h 2 n + 1 + h e - n + 1 h y n + 1

Onde sabendo do valor de y em 0 ...

y 0 = 1

Ao fazer nossas iterações, até chegar em t = 2 obtemos a seguinte tabela, considerando os valores pedidos pelo enunciado...

Passo 4

d) E para esse último caso, bora tomar o mesmo procedimento de antes...

Primeiro... Pegar a seguinte relação abaixo...

y n + 1 = y n + h 2 t n + 1 + e - t n + 1 y n + 1

E usar a condição inicial...

t 0 = 0

Sabendo que no método inverso, devemos fazer...

t n + 1 = n + 1 h

De modo que nossa relação vai ficar assim...

y n + 1 = y n + 2 h 2 n + 1 + h e - n + 1 h y n + 1

Onde sabendo do valor de y em 0 ...

y 0 = 1

Ao fazer nossas iterações, até chegar em t = 2 obtemos a seguinte tabela, considerando os valores pedidos pelo enunciado...

E pronto! Resposta obtida!

Resposta

a)

b)

c)

d)

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