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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 3

Nos Problemas 1-4, resolva a equação de Cauchy-Euler dada.

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 2 x 4 + x 2

Passo 1

Olá, tudo beleza?

Olha só, pra a gente resolver essa EDO, a gente faz uma substituição tipo:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Vamos substituir isso na EDO, primeiro na parte homogênea...

Passo 2

Substituindo...

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - 4 x m x m - 1 + 6 x m = 0

m 2 x m - m x m - 4 m x m + 6 x m = 0

x m m 2 - 5 m + 6 = 0

A nossa equação auxiliar então é:

m 2 - 5 m + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo...

m - 2 m - 3 = 0

m 1 = 2

m 2 = 3

Então, a solução geral é:

y = c 1 x 2 + c 2 x 3

Agora vamos para a parte não-homogênea...

Passo 4

Agora vamos para a parte não-homogênea da EDO. Podemos reescrevê-la assim:

y ' ' - 4 x y ' + 6 x 2 y = 2 x 2 + 1

Então podemos resolver utilizando o método de variação dos parâmetros.

Olhando nossa solução geral, temos:

y 1 = x 2

y 2 = x 3

Nossa solução particular vai ter a forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde:

u 1 = ∫ y 2   f x M   d x

u 2 = ∫ - y 1   f x M   d x

Onde f x = 2 x 2 + 1 e M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 .

Passo 5

Agora, vamos pôr a mão na massa!

A gente tem:

M = 2 x 3 x 2 x 2 x 3 = 2 x 4 - 3 x 4 = - x 4

Então...

u 1 = ∫ y 2   f x M   d x

u 1 = ∫ x 3 2 x 2 + 1 - x 4   d x = ∫ - 2 x - 1 x   d x =   - x 2 - ln ⁡ x

u 2 = ∫ - x 2 ( 2 x 2 + 1 ) - x 4   d x = ∫ 2 - 1 x 2   d x = 2 x + 1 x

Então a solução particular é:

y p = - x 2 - ln ⁡ x x 2 + 2 x + 1 x x 3

y p = - x 4 - x 2 ln ⁡ x + 2 x 4 + x 2

y p = x 4 + x 2 - x 2 ln ⁡ x

Passo 6

A solução final da EDO então é a soma da geral com a particular:

y = c 1 x 2 + c 2 x 3 + x 4 + x 2 - x 2 ln ⁡ x

E terminamos! 😉

Resposta

y = c 1 x 2 + c 2 x 3 + x 4 + x 2 - x 2 ln ⁡ x

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