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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 4

Nos Problemas 1-4, resolva a equação de Cauchy-Euler dada.

x 2 y ' ' - x y ' + y = x 3

Passo 1

Olá, tudo beleza?

Olha só, pra a gente resolver essa EDO, a gente faz uma substituição tipo:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Vamos substituir isso na EDO, primeiro na parte homogênea...

Passo 2

Substituindo...

x 2 y ' ' - x y ' + y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - x m x m - 1 + x m = 0

m 2 x m - m x m - m x m + x m = 0

x m m 2 - 2 m + 1 = 0

A nossa equação auxiliar então é:

m 2 - 2 m + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 2 m + 1 = 0

m - 1 2 = 0

m 1 = m 2 = 1

Então, a solução geral é:

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x

Agora vamos para a parte não-homogênea...

Passo 4

Agora vamos para a parte não-homogênea da EDO.

x 2 y ' ' - x y ' + y = x 3

y ' ' - y ' x + y x 2 = x

Podemos resolver utilizando o método de variação dos parâmetros.

Olhando nossa solução geral, temos:

y 1 = x

y 2 = x ln ⁡ x

Nossa solução particular vai ter a forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde:

u 1 = ∫ y 2   f x M   d x

u 2 = ∫ - y 1   f x M   d x

Onde f x = x e M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 .

Passo 5

Agora, vamos pôr a mão na massa!

A gente tem:

M = 1 ln ⁡ x + 1 x x ln ⁡ x = x ln ⁡ x - x ln ⁡ x - x =   - x

Então...

u 1 = ∫ y 2   f x M   d x = ∫ x ln ⁡ x x - x   d x

= - 1 2 x 2 ln ⁡ x + x 2 4

E:

u 2 = ∫ - x x - x   d x = x 2 2

Então a solução particular é:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - 1 2 x 2 ln ⁡ x + x 2 4 x + x ln ⁡ x x 2 2

y p = x 3 4

Passo 6

A solução final da EDO então é a soma da geral com a particular:

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + x 3 4

E terminamos! 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + x 3 4

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