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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 32

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

32. f x = arc sen ⁡ ( x 2 / 3 )

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)A função passa a ser crescente a partir do ponto x = 0 . O intervalo, considerando o domínio da função, é:

( 0 ,   1 )

Passo 3

(b)A função é decrescente desde x = - 1 até x = 0 , onde ela muda de comportamento. O intervalo será:

( - 1 ,   0 )

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima desde x = - 1 até o primeiro ponto de inflexão em x = - 1 / 9 4 . Volta a ter a concavidade pra cima a partir do segundo ponto de inflexão em x = 1 / 9 4 . Logo, o intervalo será:

- 1 ,   - 1 / 9 4 ∪ ( 1 / 9 4 ,   1 )

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo entre os pontos de inflexão x = - 1 / 9 4 e x = 1 / 9 4 . Logo, o intervalo é

( - 1 / 9 4 ,   1 / 9 4 )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = 2 1 - x 4 3 2 - 2 x 4 / 3 9 x 4 / 3 ∙ 1 - x 4 3 2 3 = 0

1 - x 4 3 2 - 2 x 4 3 = 0

1 - x 4 3 2 = 2 x 4 3

1 - x 4 3 = 2 x 4 3

x 4 3 = 1 / 3

x 4 = 1 / 9

∴ x = ± 1 / 9 4

Nesses pontos, a função muda de concavidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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