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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 7

(Função arco-secante. A função f x = sec ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 2 é inversível e sua inversa é a função g x = arcsec ⁡ x , x ≥ 1 . Calcule arcsec ' ⁡ x .

Passo 1

Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Assim:

f ' x = sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

Passo 2

Vamos encontrar a inversa g :

g ' x = 1 f ' g x = 1 sec ⁡ arcsec ⁡ x tg ⁡ arcsec ⁡ x = 1 x tg ⁡ arcsec ⁡ x

Agora vamos fazer uma manipulação através da identidade trigonométrica fundamental:

tg 2 ⁡ arc sec ⁡ x = sec 2 ⁡ arcsec ⁡ x - 1 → tg 2 ⁡ arcsec ⁡ x = sec ⁡ arcsec ⁡ x 2 - 1 → tg 2 ⁡ arcsec ⁡ x = x 2 - 1 → tg ⁡ arcsec ⁡ x = x 2 - 1

Passo 3

Substituindo em g ' x :

g ' x = 1 f ' g x = 1 x tg ⁡ arcsec ⁡ x = 1 x x 2 - 1

Com x ≥ 1 .

Resposta

arcsec ' ⁡ x = 1 x x 2 - 1

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