Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

g t = e 1 t

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar f ' x e depois analisar seu sinal.

Vamos começar derivando a nossa função aplicando a regra do polinômio e da função exponencial:

t n ' = n t n - 1

e f t ' = e f t ⋅ f ( t ) '

Vamos então aplicar:

g ' t = e 1 t ' = e 1 t t - 1 ' = e 1 t - 1 t 2

g ' t = - e 1 t t 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de g ' t ! Repara que o denominador só pode ser positivo (pois é uma termo ao quadrado) e temos um sinal de negativo na frente, ou seja, temos g ' t < 0 para todo t .

Então: g é estritamente decrescente em t

Não podendo assumir valor em t = 0 .

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de g para t → + ∞ e t → - ∞ :

lim t → + ∞ ⁡ e 1 t = 1

lim t → - ∞ ⁡ e 1 t = 1

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

g é estritamente decrescente em t

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