Para a função custo (dada em dólares), encontre (a) o custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de unidades; (b) o nível de produção que vai minimizar o custo médio; e (c) o custo médio mínimo.

item (a): Encontrar o custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de unidades.

Custo de produção de unidades:

Temos que a função custo é dada por

e precisamos saber o custo de produção de unidades. Então, basta avaliarmos a função em .

Dessa forma,

ou seja,

O que nos dá:

Custo médio de produção de unidades:

A ideia do custo médio é representar o custo por unidade produzida, ou seja,

Simplificando:

Então, para vamos ter:

ou seja, temos que o custo médio de produção de unidades é

Ainda precisamos calcular o custo marginal. Mas vamos fazer isso no próximo passo pra deixar tudo bem organizado, tá?

Custo marginal de produção de unidades:

O custo marginal é uma função que mede a taxa de variação da função custo em relação à variável .

Opa, mas taxa de variação de uma variável em relação a outra é exatamente o conceito de derivada, né? Então, podemos dizer que a função custo marginal é a derivada da função custo

Como a função é um polinômio, vamos derivá-la utilizando a Regra da Soma e, para cada um dos seus termos, vamos utilizar a Regra da Potência.

Relembrando a Regra da Potência:

Assim,

Derivando cada um dos termos:

Observe que para unidades vamor ter:

Pronto! Respondemos tudo o que o item (a) pedia. Vamos agora para o item (b).

Item (b): Encontrar o nível de produção que vai minimizar o custo médio.

Aqui, temos que encontrar qual é quantidade de unidades produzidas do produto que faça com que o custo médio seja o menor valor possível, ou seja, precisamos encontrar um ponto de mínimo da função custo médio.

Para isso, lembramos que todo ponto de mínimo de um função é um ponto crítico, ou seja, um ponto que anula a derivada. Pensa assim, se é um ponto crítico da função , então

Porém, ser um ponto crítico não é suficiente para que o ponto seja de mínimo. Temos que avaliar a segunda derivada da função no ponto crítico e garantir que ela seja positiva, ou seja,

Já temos as informações que precisamos para resolver esse item, agora é só fazer as contas! Faremos isso no próximo passo.

Derivando a função custo médio:

Assim como no Passo 3, como a função

é um polinômio, vamos derivá-la utilizando a Regra da Soma e a Regra da Potência para cada um dos seus termos. Assim,

Derivando cada um dos termos:

Encontrando o ponto crítico:

Fazendo vamos ter:

ou seja,

Tomando a raiz quadrada de , vamos ter que o ponto crítico é

Avaliando a segunda derivada no ponto crítico:

Derivando a função :

ou seja (usando as Regras da Soma e da Potência de novo)

Agora, avaliando essa função no ponto cr��tico observamos que

pois ambos os termos da fração são positivos.

Ótimo! Então o nível de produção que minimiza o custo médio é de unidades.

Item (c): Encontrar o custo médio mínimo.

Aqui, só precisamos calcular qual será o valor do custo médio em seu ponto de mínimo.

Bem, como a função custo médio é dada por

e o seu ponto de mínimo é em , então:

simplificando,

ou seja,