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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.1 - Ex. 43

A função gama é definida pela integral

γ α = ∫ 0 ∞ t α - 1 e - t d t     a > 0

Veja o Apêndice 1. Mostre que L t α = γ α + 1 s α + 1 ,   α > - 1 .

Passo 1

Opa, tudo bem?

Olha só, a gente sabe que:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Então, daí a gente tem que:

L f α = ∫ 0 ∞ e - s t t α d t

E aí podemos fazer:

u =   s t → d u = s   d t

t = u s

E aí ficamos com:

= ∫ 0 ∞ e - u u s α 1 s   d u

Passo 2

E aí podemos tirar as constantes...

∫ 0 ∞ e - u u s α 1 s   d u

= 1 s s α ∫ 0 ∞ e - u u α d u

= 1 s α + 1 ∫ 0 ∞ e - u u α d u

A gente pode trocar a variável u por t , pois a letra não interfere no resultado.

= 1 s α + 1 ∫ 0 ∞ e - t t α d t  

Passo 3

E temos que:

γ α + 1 = ∫ 0 ∞ t α e - t d t     a > 0

Então, podemos dizer que:

1 s α + 1 ∫ 0 ∞ e - t t α d t = 1 s α + 1   γ α + 1

Assim, provamos que:

L t α = γ α + 1 s α + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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