Enunciado

A função rendimento marginal para certo artigo é dada por R ' x = 3 4 x 2 - 10 x + 12 .

a)Ache a função do rendimento total.

Passo 1

Sabemos que se temos a derivada f ' ( x ) de uma função f , podemos chegar às funções que possuem essa derivada aplicando o processo inverso da diferenciação, a integração. Se integrarmos então a função rendimento marginal R ' ( x ) podemos chegar então a uma família de equações que estão no formato da função rendimento total R ( x ) .

Passo 2

Temos então:

∫ 3 4 x 2 - 10 x + 12 d x = 3 4 ⋅ x 3 3 - 10 ⋅ x 2 2 + 12 x + C = x 3 4 - 5 x 2 + 12 x + C

Temos então a equação da função da forma R x = x 3 4 - 5 x 2 + 12 x + C . Mas a equação ainda não está completa, devemos descobrir quem é o termo C .

Passo 3

Sabemos que a função rendimento por certo produto é igual a 0 quando não temos nenhuma unidade vendida, ou seja, R 0 = 0 . Então:

0 3 4 - 5 ⋅ 0 2 + 12 ⋅ 0 + C = 0 ⇒ C = 0

Agora temos a equação completa:

R x = x 3 4 - 5 x 2 + 12 x

Resposta

R x = x 3 4 - 5 x 2 + 12 x

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