Epidemias. A utilização de métodos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas vem desde a década de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo á varíola. Em anos mais recentes, muitos modelos matemáticos foram propostos e estudados para diversas doenças diferentes. Os problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples e as cpnclução que podem ser tirada deles. Modelos semelhantes também têm sido usados para descrever a disseminação de boatos e de produtos de consumo.

24. O trabalho de Daniel Bernolli em 1760 tinha como objetivo avaliar o quão efetivo estava sendo um programa controverso de inoculação contra a varíola, que era um grande problema de saúde pública na época. Seu modelo se aplica igual bem a qualquer outra doença que, uma vez adquirida, se o paciente sobreviver, ganha imunidade para o resto da vida.

Considere o conjunto que sobrevivem anos depois. Seja o número de elemtnso desse conjunto que ainda não tiverem varíola até o ano e que são, portanto, suscetíveis. Seja a taxa segunda a qual indivíduos suscetíveis contraem varíola e seja a taxa segundo a qual pessoas que contraem varíola morrem da doença. Finalmente, seja a taxa de morte por qualquer outro motivo diferente da varíola. Então , a taxa segundo a qual o número de indivíduos suscetíveis varia, é dada por

O primeiro termo na expressão à direita do sinal de igualdade na Eq.(i) é a taxa segundo a qual os indíviduos suscetíveis contraem a doença, e o segundo termo é a taxa segundo a qual eles morrem de outras causas. Temos também

Em que é a taxa de mortalidade do conjunto inteiro, e os dois termos à direita do sinal de igualdade são devidos à varíola e às outras causas, repectivamente.

(a) Seja e mostre que satisfaz o problema de valor inicial

Observe que o problema de valor inicial (Eq.(3)) não depende de .

(b) Encontre resolvendo a Eq.(3)

(c) Bernoulli estimou que . Usando esses valores, determine a proporção de indivíduos com 20 anos que ainda não tiveram varíola.

Nota: Baseado no modelo que acabamos de descrever e nos melhores dados de mortalidade disponíveis na época, Bernoulli calculou que, se as mortes devidas à varíola pudessem ser elemidadas , então seria possível adcionar aproximadamente 3 anos à expectativa média de vida (em 1760) de 26 anos e 7 meses. Portanto, ele apoiou o programa de oniculação.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Resposta