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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.7 - Ex. 20

Convergência do Métdodo de Euler. Pode-se mostrar que, sob condições apropriadas para f , a aproximação numérica gerada pelo método de Euler para o problema de valor inicial y ' = f t , y , y t 0 = y 0 converge para a solução exata quando o tamanho h do passo diminui. Isto está ilustrado no exemplo a seguir. Considere o problema de valor inicial

y ' = 1 - t + y ,     y t 0 = y 0

  1. Mostre que a solução exata é y = ϕ t = y 0 - t 0 e t - t 0 + t .
  2. Usando a fórmula de Euler, mostre que

    3. y k = 1 + h y k - 1 + h - h t k - 1 ,     k = 1 ,   2 ,   …

  3. Observando que y 1 = 1 + h y 0 - t 0 + t 0 , mostre por indução que

    4. y n = 1 + h n y 0 - t 0 + t n

    para cada inteiro positivo n .

  4. Considere um ponto fixo t > t 0 e, para n dado, escolha h = ( t - t 0 ) / n   . Então t n = t para todo n . Note também que h → 0 quando n → ∞ . Substituindo h na Eq. (i) e fazendo n → ∞ , mostre que y n → ϕ t quando n → ∞ .

Sugestão: lim n → ∞ ⁡ 1 + a n n = e a .

Passo 1

Bom, nesse exercício que com certeza será longo, iremos primeiramente resolver a EDO pelo método do fator integrante para chegar no resultado pedido. Após isso iremos aplicar o método de Euler visto no capítulo para resolver os outros itens do enunciado. Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

  1. Vamos lá, galerinha! Vamos começar observando que nossa EDO é linear, mas não separável, ou seja, vamos resolver pelo método do fator integrante. Se reescrevermos a equação da forma

    2. y ' - y = 1 - t

    Veremos que nosso p t = - 1 . Assim, nosso μ t será:

    μ t = e ∫ p t d t = e - t

    Multiplicando toda a equação por μ t , chegaremos nessa expressão para a EDO

    e - t ⋅ y ' = e - t - t e - t

    Integrando de ambos os lados, vamos chegar que

    e - t ⋅ y = - e - t - - e - t - t e - t + C

    y = t + C ⋅ e t

    Essa será nossa solução geral. Se aplicarmos y t 0 = y 0 , vamos ter que:

    y 0 = t 0 + C ⋅ e t 0

    C = y 0 - t 0 ⋅ e - t 0

     

    Chegando, assim, no que nos foi pedido

    y = t + y 0 - t 0 ⋅ e - t 0 ⋅ e t = t + y 0 - t 0 ⋅ e t - t 0

    Passo 3

  2. Aplicando a formula de Euler, temos que

    3. y n + 1 = y n + f n ⋅ h

    y n + 1 = y n + 1 - t n + y n ⋅ h = 1 + h ⋅ y n + 1 - t n ⋅ h

    Agora se aplicarmos k = n + 1 , teremos que

    y k = 1 + h ⋅ y k - 1 + h - t k - 1 ⋅ h

    Passo 4

  3. Bom, como o próprio enunciado nos diz:

    4. y 1 = 1 + h y 0 + h - h t 0

    Podemos escrever h como sendo uma variação dos termos t . Ou seja, h = t 1 - t 0 . Substituindo em y 1 , vamos ter que

    y 1 = 1 + h y 0 + t 1 - t 0 - h t 0 = 1 + h y 0 - t 0 + t 1

    Se supormos agora que nosso y n será algo do tipo

    y n = 1 + h n y 0 - t 0 + t n ,     n ≥ 1

    Temos que nosso y n + 1 precisa ser, como visto no item anterior,

    y n + 1 = 1 + h y n + h - h t n

    Assim, substituindo y n , vamos ter que:

    y n + 1 = 1 + h 1 + h n y 0 - t 0 + t n + h - h t n

    y n + 1 = 1 + h n + 1 y 0 - t 0 + 1 + h t n + h - h t n = 1 + h n + 1 y 0 - t 0 + t n + h

    E como vimos, h é nosso acréscimo. Então temos que

    y n + 1 = 1 + h n + 1 y 0 - t 0 + t n + 1

    Provando que y n = 1 + h n y 0 - t 0 + t n

    Passo 5

  4. Fazendo os passos que o enunciado sugere, vamos substituir h = t - t 0 n , com t n = t .

y n = 1 + t - t 0 n n y 0 - t 0 + t

Agora aplicando o limite para n → ∞ e usando o fato de que

lim n → ∞ ⁡ 1 + a n n = e a

Teremos que nosso a = t - t 0 . Assim:

lim n → ∞ ⁡ 1 + t - t 0 n n y 0 - t 0 + t = e t - t 0 ⋅ y 0 - t 0 + t = ϕ t

Como queríamos chegar

Resposta

d V d t = - k ⋅ V 2 3

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