Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 78
Se , prove que não tem extremos relativos, mas que o gráfico de f posui retas tangentes horizontais. Faça um esboço do gráfico para .
Passo 1
A primeira coisa a se fazer, na verdade, é mostrar que existem sim retas tangentes horizontais, isso quer dizer que existem pontos onde a derivada da funçãoé zero:
Agora é preciso testar quando essa função é igual a zero, assim saberemos os pontos nos quais a derivada é zero.
A derivada será zero sempre que estiver passando por um x que seu cosseno é igual a -1, ou seja, quando . Mas o cosseno é uma função periódica, logo terá valor -1 a cada intervalo , assim a função terá derivada zero nos valores para
Passo 2
Para mostrar que a função não possui extremos relativos, faz-se uma análise da segunda derivada e os pontos onde ela zera:
A segunda derivada admitirá valor zero sempre que x for múltiplo de .
Observe que sempre que a primeira derivada for zero, a segunda derivada também será zero (o contrário não vale), isso significa que naqueles pontos onde a derivada é zero, o x não estará dentro de um intevalo com concavidade, logo não pode ser definido nem como ponto de mínimo, nem ponto de máximo, é apenas um valor onde a reta tangente é horizontal, mas não é extremo relativo.
Resposta
