Se f(x) = x + sen(x) , prove que f não tem extremos relativos, mas que o gráfico de f posui retas tangentes horizontais. Faça um esboço do gráfico para x ∈ [-2π, 2π] .

Passo 1

A primeira coisa a se fazer, na verdade, é mostrar que existem sim retas tangentes horizontais, isso quer dizer que existem pontos onde a derivada da funçãoé zero:

f x = x + s e n x

f ' x = 1 + c o s x

Agora é preciso testar quando essa função é igual a zero, assim saberemos os pontos nos quais a derivada é zero.

1 + c o s x = 0

c o s x = - 1

A derivada será zero sempre que estiver passando por um x que seu cosseno é igual a -1, ou seja, quando x = π . Mas o cosseno é uma função periódica, logo terá valor -1 a cada intervalo 2 π , assim a função terá derivada zero nos valores para x = - 3 π ,     - π ,   π ,   3 π ,   5 π ,   7 π …

Passo 2

Para mostrar que a função não possui extremos relativos, faz-se uma análise da segunda derivada e os pontos onde ela zera:

f ' ' x = - s e n x

s e n x = 0

A segunda derivada admitirá valor zero sempre que x for múltiplo de π .

Observe que sempre que a primeira derivada for zero, a segunda derivada também será zero (o contrário não vale), isso significa que naqueles pontos onde a derivada é zero, o x não estará dentro de um intevalo com concavidade, logo não pode ser definido nem como ponto de mínimo, nem ponto de máximo, é apenas um valor onde a reta tangente é horizontal, mas não é extremo relativo.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados