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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 27

Ponto de Bifurcação. Para uma equação da forma,

d y / d t = f ( a , y ) ,     ( i )

Em que a é um parâmetro real, os pontos críticos (soluções de equilíbrio) dependem, em geral, do valor de a . Quando a aumenta ou diminui constantemente, acontece, muitas vezes, que, para determinado valor de a , chamado de ponto de bifurcação, os pontos críticos se juntam, ou se separam, e soluções de equilíbrio podem ser perdidadas ou podem aparecer. Pontos de bifurcação são de grande interesse em muitas aplicações porque, perto deles, a natureza das soluções da equação diferencial subjacente muda bruscamente. Por exemplo, em mecânica dos fluidos, um fluxo suave (laminar) pode se dispersar e se tornar turbulento. Ou uma coluna com carga axial pode empenar, subitamente, e exibir um grande deslocamento lateral. Ou, quando a quantidade de um dos produtos químicos em uma mistura aumenta, podem aparecer, subitamente, padrões de diversas cores em ondas espirais em um fluido originalmente quieto. Os problemas de 25 a 27 descrevem três tipos de bifurcação que podem ocorrer em equações simples da forma (i).

27. Considere a equação

d y / d t = a y - y 2 = y ( a - y ) ,         ( i v )

(a) Considere, novamente, os casos a < 0 , a = 0 e a > 0 . Em cada caso, encontre os pontos críticos, desenhe a reta de fase e determine se cada ponto crítico é assintoticamente estável, semiestável ou instável.

(b) Em cada caso, emboce diversas soluções da Eq.(iv) no plano t y .

(c)Desenhe o diagrama de bifurcação para a Eq.(iv). Note que, para a Eq.(iv), o número de pontos críticos é o mesmo para a < 0 e para a > 0 , mas mudou a estabilidade deles. Para a < 0 a solução de equilíbrio y = 0 é assintoticamente estável e y = a é instável, enquanto, para a > 0 , a situação se inverte. Logo, há uma mudança de estabilidade quando a passa pelo ponto de bifurcação a = 0 . Esse tipo de bifurcação é chamado de bifurcação transcrítica.

Passo 1

Aqui vamos seguir o mesmo raciocínio do exercício anterior.

Passo 2

(a) Para sabermos quais são os pontos de equilíbrio de uma função, basta tomarmos quando sua derivada é nula, neste casa

d y d t = a y - y 2 = y a - y = 0

Ou seja

y = a ou y 1 = 0

Assim temos que, para a > 0 , temos y 2 = a > 0 . Para a = 0 , temos y = 0 também. E para a < 0 , temos y 3 = a < 0 . Onde todas as condições são retas no plano x y .

Passo 3

(b) Tomando valores a = - 1 , a = 0 e a = - 1

Passo 4

(c) o diagrama de bifurcação em nosso problema por der resolvido por uma simples reta

Lembrando que as instabilidades podem ser visualizadas observando a derivada segunda da nossa função y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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