Ponto de Bifurcação. Para uma equação da forma,

Em que é um parâmetro real, os pontos críticos (soluções de equilíbrio) dependem, em geral, do valor de . Quando aumenta ou diminui constantemente, acontece, muitas vezes, que, para determinado valor de , chamado de ponto de bifurcação, os pontos críticos se juntam, ou se separam, e soluções de equilíbrio podem ser perdidadas ou podem aparecer. Pontos de bifurcação são de grande interesse em muitas aplicações porque, perto deles, a natureza das soluções da equação diferencial subjacente muda bruscamente. Por exemplo, em mecânica dos fluidos, um fluxo suave (laminar) pode se dispersar e se tornar turbulento. Ou uma coluna com carga axial pode empenar, subitamente, e exibir um grande deslocamento lateral. Ou, quando a quantidade de um dos produtos químicos em uma mistura aumenta, podem aparecer, subitamente, padrões de diversas cores em ondas espirais em um fluido originalmente quieto. Os problemas de 25 a 27 descrevem três tipos de bifurcação que podem ocorrer em equações simples da forma (i).

27. Considere a equação

(a) Considere, novamente, os casos e . Em cada caso, encontre os pontos críticos, desenhe a reta de fase e determine se cada ponto crítico é assintoticamente estável, semiestável ou instável.

(b) Em cada caso, emboce diversas soluções da Eq.(iv) no plano .

(c)Desenhe o diagrama de bifurcação para a Eq.(iv). Note que, para a Eq.(iv), o número de pontos críticos é o mesmo para e para , mas mudou a estabilidade deles. Para a solução de equilíbrio é assintoticamente estável e é instável, enquanto, para , a situação se inverte. Logo, há uma mudança de estabilidade quando passa pelo ponto de bifurcação . Esse tipo de bifurcação é chamado de bifurcação transcrítica.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Resposta