Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 24
- Use o Teorema da Diferença Constante (4.8.3) para mostrar que, se em cada de , e se em algum ponto , então
Em cada de .
- Use o resultado de (a) para mostrar que a função
é constante em cada de e encontre a constante.
- Verifique o resultado de (b) multiplicando e simplificando a fórmula de .
Em cada de .
é constante em cada de e encontre a constante.
Passo 1
(a) O teorema da diferença constante diz que se duas funções e são diferenciáveis num intervalo e (como no enunciado), podemos dizer que , onde é uma constante.
O enunciado quer que a gente parta dessa informação para provar que se é igual a uma constante em um ponto, isso acontece para todos os pontos.
Passo 2
Vamos olhar com carinho essa relação dada pelo Teorema. Se
E isso acontece para todos os valores de da nossa função. Para qualquer , teremos o mesmo .
Agora pensa comigo: se para um , temos
Ou seja, . Se isso acontece para um valor de , pelo teorema, isso vai acontecer para todos os valores de , porque o valor de é sempre o mesmo.
O que implica em:
Passo 3
(b) Vamos usar o Teorema para provar quena real é uma constante e descobrir que constante é essa.
Vemos que nossa função é igual a uma diferença de duas funções. Comparando essa função com a equação do teorema:
A gente só tem que provar que para todos os valores de , .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Ih, olha só, as derivadas são iguais. Então temos que:
Para qualquer valor de , teremos a mesma constante. Então para descobrir essa constante podemos usar qualquer valor de . Vamos usar .
Aí! Conseguimos!
Passo 5
(c) Só simplicar a função :
Resposta
- prova nos passos