Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 45
As funções seno e cosseno de Fresnel e foram definidas nas Fórmulas (13) e (14) e têm seus gráficos mostrados na Figura 5.10.4. Suas derivadas foram dadas nas Fórmulas (15) e (16).
(a) Em que pontos tem mínimos relativos? E máximos relativos?
(b) Onde ocorrem os pontos de inflexão de ?
(c) Confirme que suas respostas em (a) e (b) estão em conformidade com o gráfico de
Passo 1
(a) Para achar os máximos e mínimos relativos de , vamos ter que analisar os pontos onde . Sendo:
Sabemos que zera e sai de valores positivos para valores negativos quando seu argumento é . Por isso, esses sãos pontos de máximo relativo.
Podemos igualar esse argumento ao de , e descobrir o valor de onde teremos nosso máximo relativo:
Esses serão nossos pontos de máximo relativo.
Passo 2
E sabemos que também zera e sai de valores negativos para positivos em . Esses são pontos de mínimo relativo.
Também podemos igualar os argumentos aqui para descobrir nosso :
Esses são nossos pontos de mínimo relativo.
Passo 3
(b) Os pontos de inflexão ocorrem em . Calculando a derivada segunda:
Sabemos que essa expressão zera em . Esse é o nosso primeiro ponto de inflexão.
O segundo nós podemos achar sabendo que a função seno zera quando seu argumento é igual a . Igualando esse valor ao argumento do seno da nossa derivada:
Logo, também teremos pontos de inflexão nesses valores de .
Passo 4
(c)Esse é o gráfico de :
Vemos que de fato temos máximos em e mínimos em , mas na realidade, também temos máximos em e mínimos em
Ou seja, quando a gente vai para , as classificações se invertem em relação as que calculamos.
Já quando a gente pensa nos pontos de inflexão, eles realmente estão , e .
Resposta
- máximos em e mínimos em
- Discussão nos passos