Encontre uma função f e um número a tais que

4 + ∫ a x f ( t ) d t = e 2 x

Passo 1

Precisamos achar a e f , com talento.

Para achar f , podemos pensar em derivar os dois lados da equação. Essa integral a gente deriva pela teorema fundamental do cálculo:

f x = 2 e 2 x

Olha só, conseguimos!

Passo 2

Para achar a , podemos substituir nossa f na equação:

4 + ∫ a x 2 e 2 t d t = e 2 x

Calculando a integral, usando uma substituição simples u = 2 t :

4 + e 2 t ​ a x = e 2 x

4 + e 2 x - e 2 a = e 2 x

4 = e 2 a ∴ 2 a = ln ⁡ 4 ∴ a = ln ⁡ 4 2 = ln ⁡ 4 1 2 = ln ⁡ 2

Resposta

f x = 2 e 2 x

a = ln ⁡ 2

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