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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 47

Encontre uma função f e um número a tais que

4 + int_a^x f ( t ) d t = e^(2 x)

Passo 1

Precisamos achar a e f , com talento.

Para achar f , podemos pensar em derivar os dois lados da equação. Essa integral a gente deriva pela teorema fundamental do cálculo:

f (x) = 2 e^(2 x)

Olha só, conseguimos!

Passo 2

Para achar a , podemos substituir nossa f na equação:

4 + int_a^x 2 e^(2 t) d t = e^(2 x)

Calculando a integral, usando uma substituição simples u = 2 t :

4 + e^(2 t) (​|_a^x = e^(2 x)

4 + e^(2 x) - e^(2 a) = e^(2 x)

4 = e^(2 a) :. 2 a = ln 4 :. a = (ln 4)/(2) = ln 4^((1)/(2)) = ln 2

Resposta

f (x) = 2 e^(2 x)

a = ln 2

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