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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 52

Escreva um parágrafo curto comparando a Definição 5.10.1 com a definição da função logaritmo natural dada no Capítulo 0. Não esqueça de incluir as questões de continuidade e diferenciabilidade.

Passo 1

A definição de logaritmo natural é dado no capítulo 1, é tratada como o inverso da função exponencial e x . Ou seja, temos e l n ⁡ ( x ) = x . Agora, diferenciando em relação a x , temos:

d d x [ e l n ⁡ ( x ) ] = d d x [ x ]

Aplicando a regra da Cadeia, temos:

e ln ⁡ x . d d x ln ⁡ x = 1

Sabendo que por propriedade de logaritmo x = e l n ⁡ ( x ) :

x . d d x ln ⁡ x = 1

d d x ln ⁡ x = 1 x

A definição 5.10.1, nós temos ln ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t . Diferenciando de ambos os lados, temos:

d d x ln ⁡ x = d d x ∫ 1 x 1 t d t  

d d x ln ⁡ x = d d x ln ⁡ x - l n ⁡ ( 1 )

d d x ln ⁡ x = 1 x

Portanto, ambas as fórmulas derivadas são consistentes entre si. Como diferenciabilidade implica continuidade, ambos os casos são contínuos em ( 0 ,   ∞ ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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