Durante os meses de verão, Terry faz e vende colares na praia. No verão passado, ele vendeu os colares por $ 10 cada e suas vendas eram em média de 20 por dia. Quando ele aumentou o preço 1 , descobriu que a média diminuiu em duas vendas por dia.

(a) Encontre a função de demanda, supondo que ela seja linear.

(b) Se o material de cada colar custa a Terry 6 , qual deveria ser o preço de venda para maximizar seu lucro?

Passo 1

E aí meus amores nessa questãozinha “Pegue o que puder, sem nada a devolver” okay?

Claro, vamos resolver essa questão de forma bem clara e didática, dividindo o processo em etapas para garantir que tudo fique bem explicado.

### Passo 1: Entendendo o Problema

Temos Terry, que vende colares na praia. Sabemos o seguinte:

1. Ele vende colares a $10 cada.

2. A uma média de 20 colares por dia.

3. Se ele aumentar o preço em $1, as vendas caem em 2 colares por dia.

Com base nesses dados, temos duas partes da questão para resolver:

1. Encontrar a função de demanda, supondo que ela seja linear.

2. Determinar o preço de venda que maximiza o lucro, sabendo que cada colar custa $6 para ser feito.

Passo 2

Parte (a):

Podemos usar os dados fornecidos para encontrar (   a   )   e   (   b   ) :

- Quando (   P   =   10   ) ,   (   Q   =   20   ) .

- Quando (   P   =   11   ) ,   (   Q   =   18   ) .

Então... p x é a função de demanda e terá a seguinte inclinação:

a = p r e ç o   a n t e r i o r - p r e ç o   c o m   a u m e n t o v e n d a s   a n t e r i o r e s - v e n d a s   c o m   a u m e n t o ∴

a = 10 - 11 20 - 18

a = - 1 2

A função demanda inversa é y = p x , e passa pelos pontos 20,10 e 18,11 .

Além disso, substituindo esses dados na equação da reta mostrada no Passo 1, temos:

y - 10 = - 1 2 x - 20 ∴

y = - 1 2 x + 20 = p ( x ) .

Passo 3

Parte (b):

Como o material de CADA colar custa $   6 , a função custo é C x = 6 x

A receita dessa função é R x = x p x = - 1 2 x 2 + 20 x

Com receita e custo, podemos encontrar o lucro: P x = R x - C x .

Maximizando, ou seja, derivando e igualando a zero:

P ' x = R ' x - C ' x = 0 ∴

P ' x = - x + 20 - 6 = 0 ∴

x = 14

P ' ' x = - 1 , isso demonstra que x = 14 realmente é a quantidade que maximiza o lucro. Com isso, podemos achar o melhor preço:

p 14 = - 14 2 + 20 = $ 13 .

Depois dessa questão, “Ninguém se mexe” Meu cérebro caiu.”

Haha bora pra proximaaaa

Resposta

  1. p ( x ) = - 1 2 x + 20
  2. $ 13
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