Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 61
Um time de beisebol joga em um estádio com capacidade para espectadores. Com o preço do ingresso a , a frequência média tem sido de . Quando os ingressos abaixaram para, a frequência média aumentou para .
(a) Encontre a função demanda, supondo que ela seja linear.
(b) Qual deveria ser o preço dos ingressos para maximizar a receita?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho? 😬
Bom, essa questão conta pra gente qual a frequência média de um estádio com capacidade paa espectadores.
Essa frequencia depende do valor cobrado pelo ingresso e sabemos que se o ingresso custar a frequência média será de espectadores. Já de o ingresso for , a frequência média será de .
Com essas informações teremos que responder a dois itens.
No item a) temos que obter uma fun��ão demanda linear sabendo que e .
Para isso, temos que lembrar que a função linear é dada por
Se e , então
E no item b), temos que, partir da função para que saber qual deveria ser o preço dos ingressos para maximizar a receita do estádio.
E para usaremos a maximização da receita através da derivada igualada a zero.
A partir dessas informações podemos montar nosso problema...
Veja só! 😁
Passo 2
Item a).
A função demanda é linear e , então a inclinação dessa demanda é:
Uma das equações da reta é:
E resolvendo, temos:
Tranquilo até aqui? 😐
Passo 3
Item b).
A receita do estádio pode ser escrita na forma:
E substituindo a função do preço encontrada no item a), teremos:
Agora vamos derivar essa função e igualar a derivada a zero para encontrar seu valor máximo:
Usando a regra do expoente, teremos:
Isolando ...
Assim,
Agora podemos fazer o teste da derivada segunda para comprovar que esse valor nos dará a receita máxima. Assim:
E como derivada segunda da receita é negativa, e isso comprova que seu valor máximo ocorre quando
E para saber o preço que nos dará a máxima receita, basta fazer:
O que ocorre quando:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊
