Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 92
Para quais valores de a função
É crescente ?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de , presente na função , que faz essa função ser crescente em todo domínio.
Então, aqui nós temos que lembrar que uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.
Portanto, para que a nossa função seja crescente em todo domínio, temos que garantir que sempre! Ok ?!
Então, bora começar!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de , usando a regra do quociente:
Usando a teoria inicial, nós podemos afirmar que , se
Ou seja:
Cara nós sabemos que o tem que ser maior que o valor máximo da expressão da direita que nós chamaremos de . O que nós podemos fazer é limitar o valor de achando o valor máximo de .
Quando a gente fala em valor máximo uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: Achar os pontos críticos. Então, vamos encontrá-los!
Passo 3
Então, para , temos a derivada:
Igualando essa derivada a zero:
E isolando :
Agora vamos aplicar esse valores em :
Para nós termos certeza que é mesmo o nosso ponto máximo, nós temos que testar os extremos do nosso domínio, para isso vamos usar o limite:
Como o nosso limite deu um resultado maior, isso quer dizer que é o nosso máximo.
Passo 4
Cara, só temos que prestar atenção em uma coisa, o nosso pode ser maior ou igual a . Se o for a nossa derivada no ponto , será o zero, mas isso não impede que a nossa função seja crescente. O que eu quero dizer é que se a derivada for positiva quase sempre, mas zero em algum ponto, a nossa função ainda será crescente. Sacou ?! Dessa forma, temos que:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉