Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 92

Para quais valores de a função

É crescente ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de , presente na função , que faz essa função ser crescente em todo domínio.

Então, aqui nós temos que lembrar que uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.

Portanto, para que a nossa função seja crescente em todo domínio, temos que garantir que sempre! Ok ?!

Então, bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de , usando a regra do quociente:

Usando a teoria inicial, nós podemos afirmar que , se

Ou seja:

Cara nós sabemos que o tem que ser maior que o valor máximo da expressão da direita que nós chamaremos de . O que nós podemos fazer é limitar o valor de achando o valor máximo de .

Quando a gente fala em valor máximo uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: Achar os pontos críticos. Então, vamos encontrá-los!

Passo 3

Então, para , temos a derivada:

Igualando essa derivada a zero:

E isolando :

Agora vamos aplicar esse valores em :

Para nós termos certeza que é mesmo o nosso ponto máximo, nós temos que testar os extremos do nosso domínio, para isso vamos usar o limite:

Como o nosso limite deu um resultado maior, isso quer dizer que é o nosso máximo.

Passo 4

Cara, só temos que prestar atenção em uma coisa, o nosso pode ser maior ou igual a . Se o for a nossa derivada no ponto , será o zero, mas isso não impede que a nossa função seja crescente. O que eu quero dizer é que se a derivada for positiva quase sempre, mas zero em algum ponto, a nossa função ainda será crescente. Sacou ?! Dessa forma, temos que: