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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 2e

e) int c o t g^n (x) c o s s e c ( x ) d x = - (c o t g^(n + 1) (x))/(n + 1) + c

Passo 1

int c o t g^n (x) * c o s s e c ( x ) d x = - (c o t g^(n + 1) (x))/(n + 1) + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - (c o t g^(n + 1) (x))/(n + 1) + c = - (1)/(n + 1) * (cos^(n + 1) (x))/(s e n^(n + 1) (x)) + c

Lembrete: ((u)/(v))^' = (u^' * v - u * v^')/(v^2)

Derivando:

I^' = - (1)/(n + 1) * (( (n + 1) cos^n (x) (- s e n (x)) * s e n^(n + 1) (x) - cos^(n + 1) (x) * (n + 1) s e n^n (x) c o s ( x ))/(s e n^(2 ( n + 1 )) (x))

Simplificando o fator ( n + 1 ) :

I^' = - * (( - cos^n (x) s e n (x) * s e n^(n + 1) (x) - cos^(n + 1) (x) * s e n^n (x) c o s ( x ) ))/(s e n^(2 ( n + 1 )) (x))

Simplificando o fator s e n^n ( x ) e o - 1 :

I^' = (cos^n (x) * s e n^2 (x) + cos^(n + 1) (x) * c o s ( x ))/(s e n^(n + 2) (x))

Passo 3

Portanto, temos:

I^' = (cos^n (x) * s e n^2 (x) + cos^(n + 1) (x) * cos (x))/(s e n^(n + 2) (x)) = (cos^n (x))/(s e n^n (x)) * ( s e n^2 (x) + cos^2 ( x ) )

Mas,

s e n^2 (x) + cos^2 ( x ) ) = 1

Logo,

I^' = (cos^n (x))/(s e n^n (x)) = c o t g^n ( x )

Como I^' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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