Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 2
Prove que é contínua em todo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente provar que a função é contínua para todos os pontos , usando a definição de continuidade.
Para provar que é contínua em um ponto genérico temos que mostrar que para um existe um intervalo aberto que contenha um dado , de modo que:
Isso significa que se pegarmos um que pertença a um intervalo que é a “vizinhança” de , o valor da função nesse deve estar no máximo a um de distância de .
Vamos lá!
Passo 2
Resolvendo a inequação:
Substituindo , temos:
Tirando o m.m.c.:
Agora vamos inverter as frações, sem esquecer que para invertermos todos os termos (trocar o numerador pelo denominador e vice-versa), devemos trocar o sentido das desigualdades. Assim, temos:
Passo 3
Não existe divisão por zero, então, devemos analisar a continuidade para todo pegando sempre um ponto . Assim, devemos analisar para valores de positivos e negativos separadamente e teremos:
1º Caso: Para (positivo):
Mas se for negativo, então estará restringindo a um intervalo com números negativos. Como estamos estudando para , o valor de estará em um intervalo que contém apenas números positivos. Portanto:
Então, podemos definir nosso intervalo como:
Assim:
Logo, é contínua em .
Passo 4
2º Caso: Para (negativo):
Para qualquer negativo será negativo, então o maior valor da vizinhança de será negativo.
E sabendo que já é negativo, temos que:
O valor de tem que ser maior que zero e como é negativo, é positivo, então podemos afirmar que:
Resolvendo a inequação temos:
Então, podemos definir nosso intervalo como:
Assim:
Logo, é contínua em .
Portanto, provamos que é contínua em todo .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉