Prove que f(x) = 1 / x é contínua em todo p != 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a função f x = 1 x é contínua para todos os pontos p ≠ 0 , usando a definição de continuidade.

Para provar que f é contínua em um ponto p genérico temos que mostrar que para um ϵ > 0 existe um intervalo aberto I que contenha um dado p , de modo que:

x ∈ I ⇒ f p - ϵ <   f x < f p + ϵ

Isso significa que se pegarmos um x que pertença a um intervalo I que é a “vizinhança” de p , o valor da função nesse x deve estar no máximo a um ϵ de distância de f p .

Vamos lá!

Passo 2

Resolvendo a inequação:

f p - ϵ <   f x < f p + ϵ

Substituindo f p = 1 p , temos:

1 p - ϵ < 1 x < 1 p + ϵ

Tirando o m.m.c.:

1 - ϵ p p < 1 x < 1 + ϵ p p

Agora vamos inverter as frações, sem esquecer que para invertermos todos os termos (trocar o numerador pelo denominador e vice-versa), devemos trocar o sentido das desigualdades. Assim, temos:

p 1 + ϵ p > x > p 1 - ϵ p

Passo 3

Não existe divisão por zero, então, devemos analisar a continuidade para todo x ≠ 0 pegando sempre um ponto p ≠ 0 . Assim, devemos analisar f para valores de p positivos e negativos separadamente e teremos:

1º Caso: Para p > 0 (positivo):

p 1 + ϵ p < x < p 1 - ϵ p

Mas se 1 - ϵ p for negativo, então f x estará restringindo a um intervalo com números negativos. Como estamos estudando 1 x para p > 0 , o valor de f x estará em um intervalo que contém apenas números positivos. Portanto:

1 - ϵ p > 0

1 > ϵ p

ϵ < 1 p

Então, podemos definir nosso intervalo I como:

I = p 1 + ϵ p , p 1 - ϵ p

Assim:

x ∈ I ⇒ f p - ϵ <   f x < f p + ϵ

Logo, f é contínua em p > 0 .

Passo 4

2º Caso: Para p < 0 (negativo):

Para qualquer p negativo f ( p ) será negativo, então o maior valor da vizinhança de f será negativo.

1 - ϵ p p < f x = 1 x < 1 + ϵ p p

E sabendo que p já é negativo, temos que:

1 + ϵ p > 0

1 > - ϵ p

- 1 < ϵ p →   - 1 p > ϵ

ϵ < - 1 p

O valor de ϵ tem que ser maior que zero e como p é negativo, - 1 p é positivo, então podemos afirmar que: ϵ < - 1 p

Resolvendo a inequação temos:

1 - ϵ p p < f x = 1 x < 1 + ϵ p p

p 1 + ϵ p < x < p 1 - ϵ p

Então, podemos definir nosso intervalo I como:

I = p 1 + ϵ p , p 1 - ϵ p

Assim:

x ∈ I ⇒ f p - ϵ <   f x < f p + ϵ

Logo, f é contínua em p < 0 .

Portanto, provamos que f é contínua em todo p ≠ 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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