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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 1m

m) y = (x^3)/((1 + x^2))

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

y´= (3 x^2 (1 + x^2) - 2 x^4)/((1 + x^2)^2) = (3 x^2 + x^4)/((1 + x^2)^2) -> y´´= ((6 x + 4 x^3) (1 + x^2)^2 – 2 (1 + x^2) 2 x (3 x^2 + x^4))/((1 + x^2)^4) = (- 2 x^3 + 6 x)/((1 + x^2)^3)

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

y´´ = 0 -> - 2 x^3 + 6 x = 0 -> 2 x (- x^2 + 3) = 0 -> x = 0 , x = + √ 3 e x = - √ 3

Logo,

y √ 3 , 0) U ( + √ 3 , + oo )

y > 0 : (- oo , - √ 3 ) U ( 0 , sqrt(3) )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

(- oo , - √ 3 ) U ( 0 , sqrt(3) )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- √ 3 , 0) U ( + √ 3 , + oo )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso são:

0 , + √ 3 e - √ 3

Resposta

côncava para cima no intervalo: (- oo , - √ 3 ) U ( 0 , sqrt(3) )

côncava para baixo no intervalo: (- √ 3 , 0) U ( + √ 3 , + oo )

Pontos de inflexão: 0 , + √ 3 e - √ 3

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