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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 9a

a) Verifique que

int sec x d x = ln ( sec x + tan x ) + k

Com x in ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[

Passo 1

Pra resolver essa integral, a gente vai ter que manipular a expressão de modo que a gente consiga fazer uma substituição simples, beleza?

Só lembrando algumas derivadas:

(tan x)^' = sec^2 x

(sec x)^' = tan x sec x

Então, vamos começar multiplicando e dividindo pelo mesmo termo, pois assim não alteramos o valor da integral, mas isso vai facilitar muito nosso cálculo.

Nesse caso, vamos multiplicar por (tan x + sec x) . Assim,

int sec x d x = int sec x ((tan x + sec x))/((tan x + sec x)) d x

Fazendo a distributiva

int sec x ((tan x + sec x))/((tan x + sec x)) d x = int (sec x tan x + sec^2 x)/(tan x + sec x) d x

Parece que ficou mais complicado, mas agora conseguimos fazer uma substituição simples!

Passo 2

Agora nós temos essa integral para resolver:

int (sec x tan x + sec^2 x)/(tan x + sec x) d x

Perceba que se nós derivarmos o denominador, teremos um valor igual ao do numerador.

Então, vamos chamar o denominador de m e derivar!

m = tan x + sec x

Derivando m com relação a x , temos:

(d m)/(d x) = sec^2 x + sec x tan x ⟹ d m = (sec^2 x + sec x tan x) d x

Agora é só montar a integral,

int (sec x tan x + sec^2 x)/(tan x + sec x) d x = int (1)/(m) d m

Integrando ficamos com,

int (1)/(m) d m = ln m

Como m = tan x + sec x , temos,

int sec x d x = int (sec x tan x + sec^2 x)/(tan x + sec x) d x = ln |tan x + sec x| + C

Passo 3

Lembrando que o módulo presente no Logaritmo é por conta do domínio dessa função apenas assumir valores não nulos e positivos. Vamos observar bem, no nosso caso, para ver se precisamos utilizar o módulo. Lembrando que x in ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[

Dentro do logaritmo temos o termo (tan x + sec x) . Vamos arrumar esse termo; lembrando que tan x = (sin x)/(cos x) e sec x = (1)/(cos x) . Logo,

tan x + sec x = (sin x)/(cos x) + (1)/(cos x) = (sin x + 1)/(cos x)

Como x in ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[ . Temos que para esse intervalo, - 1 < sin x < 1 e que 0 < cos x < 1 . Ou seja, como a função seno é maior que menos um para esse intervalo, o numerador será maior que zero sempre. Além disso, o denominador também sempre será maior que zero, já que a função cosseno é maior que zero para esse intervalo. Com isso, temos que o valor dentro do logaritmo sempre será maior que zero. Dessa forma, podemos tirar o módulo. Assim,

int sec x d x = ln ( sec x + tan x ) + k

Para x in ]- (pi)/(2) , (pi)/(2)[ .

Resposta

int sec x d x = ln ( sec x + tan x ) + k

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