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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 9b

b) Mostre que

int sec x d x = ln |sec x + tan x| + k

Passo 1

Pra resolver essa integral, a gente vai ter que manipular a expressão de modo que a gente consiga fazer uma substituição simples, beleza?

Vamos começar multiplicando e dividindo pelo mesmo termo, pois assim não alteramos o valor da integral, mas isso vai facilitar muito nosso cálculo.

Nesse caso, o termo escolhido será (tan x + sec x) . Assim,

int sec x d x = int sec x ((tan x + sec x))/((tan x + sec x)) d x

Fazendo a distributiva

int sec x ((tan x + sec x))/((tan x + sec x)) d x = int (sec x tan x + sec^2 x)/(tan x + sec x) d x

Passo 2

Perceba que se nós derivarmos o denominador, teremos um valor igual ao do numerador. Lembrando que ( tan u ) ' = u ' sec^2 u e ( sec u ) ' = u ' sec u tan u .

Então, vamos chamar o denominador de m e derivar!

m = tan x + sec x

Derivando m com relação a x , temos:

(d m)/(d x) = sec^2 x + sec x tan x ⟹ d m = (sec^2 x + sec x tan x) d x

⟹ d x = (1)/(sec^2 x + sec x tan x) d m

Passo 3

Substituindo o valor de m e d x , obtemos

int (sec x tan x + sec^2 x)/(tan x + sec x) d x = int (sec x tan x + sec^2 x)/(m) * (1)/(sec^2 x + sec x tan x) d m

Podemos cortar os dois termos que são iguais e teremos

int (1)/(m) d m

Nós sabemos que essa integral é do tipo int (1)/(x) d x = l n |x| + k . Ou seja,

int (1)/(m) d m = ln |m| + k

Sabendo que m = tan x + sec x

ln |m| + k = ln |tan x + sec x| + k

Passo 4

Como já mostrado na letra a, o termo que está dentro da integral equivale a

tan x + sec x = (sin x)/(cos x) + (1)/(cos x) = (sin x + 1)/(cos x)

No entanto, como x pode assumir qualquer valor tanto a função seno quanto a função seno podem assumir valores entre -1 e 1. Ou seja, podemos ter um valor negativo. Como sabemos, a função logarítmica não pode assumir valores negativos. Assim, o módulo tira os possíveis valores negativos. Logo,

int sec x d x = ln |sec x + tan x| + k

Resposta

int sec x d x = ln |sec x + tan x| + k

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