Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 9b
b) Mostre que
Passo 1
Pra resolver essa integral, a gente vai ter que manipular a expressão de modo que a gente consiga fazer uma substituição simples, beleza?
Vamos começar multiplicando e dividindo pelo mesmo termo, pois assim não alteramos o valor da integral, mas isso vai facilitar muito nosso cálculo.
Nesse caso, o termo escolhido será . Assim,
Fazendo a distributiva
Passo 2
Perceba que se nós derivarmos o denominador, teremos um valor igual ao do numerador. Lembrando que e .
Então, vamos chamar o denominador de e derivar!
Derivando com relação a temos:
Passo 3
Substituindo o valor de e , obtemos
Podemos cortar os dois termos que são iguais e teremos
Nós sabemos que essa integral é do tipo . Ou seja,
Sabendo que
Passo 4
Como já mostrado na letra a, o termo que está dentro da integral equivale a
No entanto, como pode assumir qualquer valor tanto a função seno quanto a função seno podem assumir valores entre -1 e 1. Ou seja, podemos ter um valor negativo. Como sabemos, a função logarítmica não pode assumir valores negativos. Assim, o módulo tira os possíveis valores negativos. Logo,