Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 2
Encontre dois números cuja diferença seja e cujo produto seja mínimo.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar dois números cuja diferença seja e cujo produto seja mínimo.
Beleza, como a gente não conhece esses números, vamos chama-los de e . Assim, sabendo que a diferença entre eles vale , teremos:
Mas quando eu multiplico eles eu tenho o menor valor possível!
Isso significa que vamos ter que minimizar para descobrir os valores de e . Pra isso, vamos começar escrevendo em função de e substituindo no produto . Depois, tendo apenas uma incógnita, vamos encontrar os pontos críticos da equação (derivando e igualando a zero). Assim, descobrimos o valor de uma das incógnitas e substituímos na equação para encontrar a outra.
Vamos lá!
Passo 2
Podemos começar a nossa investigação escrevendo em função de e substituindo no produto :
Substituindo, temos:
Aplicando a distributiva nesse produto:
Agora temos apenas uma icógnita!
Passo 3
E para resolver esse mistério, precisamos encontra o valor mínimo de ! Então, vamos encontrar os pontos críticos dessa equação.
Derivando , vamos ter:
E igualando a zero:
Então, isolando o , teremos:
Como tem concavidade voltada para cima e equação só apresenta um ponto crítico, isso significa que temos um ponto de mínimo em .
Para descobrir o valor de nesse ponto, vamos substituir o valor de na equação vista no passo (). Assim, temos:
Logo, dois números, cuja diferença é e cujo produto é mínimo, são e !
Valeu, galera! Até a próxima! 😉