Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo.

Beleza, como a gente não conhece esses números, vamos chama-los de x e y . Assim, sabendo que a diferença entre eles vale 100 , teremos:

x - y = 100

Mas quando eu multiplico eles eu tenho o menor valor possível!

P = x y

Isso significa que vamos ter que minimizar P para descobrir os valores de x e y . Pra isso, vamos começar escrevendo y em função de x e substituindo no produto P . Depois, tendo apenas uma incógnita, vamos encontrar os pontos críticos da equação (derivando e igualando a zero). Assim, descobrimos o valor de uma das incógnitas e substituímos na equação para encontrar a outra.

Vamos lá!

Passo 2

Podemos começar a nossa investigação escrevendo y em função de x e substituindo no produto P :

y = x - 100

Substituindo, temos:

P = x ( x - 100 )

Aplicando a distributiva nesse produto:

P = x 2 - 100 x

Agora temos apenas uma icógnita!

Passo 3

E para resolver esse mistério, precisamos encontra o valor mínimo de x ! Então, vamos encontrar os pontos críticos dessa equação.

Derivando P ( x ) , vamos ter:

P ' = 2 x - 100

E igualando a zero:

2 x - 100 = 0

Então, isolando o x , teremos:

x = 100 2

x = 50

Como P = x 2 - 100 x tem concavidade voltada para cima e equação só apresenta um ponto crítico, isso significa que temos um ponto de mínimo em x = 50 .

Para descobrir o valor de y nesse ponto, vamos substituir o valor de x na equação vista no passo 2 ( y = x - 100 ). Assim, temos:

y = 50 - 100

y = - 50

Logo, dois números, cuja diferença é 100 e cujo produto é mínimo, são 50 e - 50 !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O s   d o i s   n ú m e r o s   s ã o     50     e   - 50

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados