Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 2
Um habitante comum do intestino humano é a bactéria Escherichai coli. Uma célula dessa bactéria em um meio nutriente se divide em duas células a cada 20 minutos. A população inicial da cultura é de 60 células.
a) Encontre a taxa de crescimento relativo.
b) Ache uma expressão para o número de células depois de horas.
c) Calcule o número de células depois de oito horas.
d) Estabeleça a taxa de crescimento depois de oito horas.
e) Quando a população alcançará células?
Passo 1
A questão fala de uma célula de bactéria que dobra a cada 20 minutos. Assim, a cada hora, o número de células aumenta por um fator
Assim, o número de células respeita uma relação do tipo
onde dá o número de horas passadas desde o instante inicial. Como a cada hora há um aumento por um fator , a cada horas o fator de aumento é . Por outro lado, essa equação pode ser escrita como
Assim, existe (taxa de crescimento relativo) tal que
Tomando dos dois lados:
Assim,
Como , a expressão para o número de células em função do tempo em horas é
Passo 2
No item (c) queremos o número de células após horas. Basta substituir :
Assim,
Para a taxa de crescimento, basta derivara :
Assim,
Logo,
Passo 3
Por fim, queremos saber quando a população atingirá células. Portanto, queremo saber quando :
Tomando o log:
Logo,