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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 33

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = xυ(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x =   4 y   -   3 x 2 x   -   y

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

d y d v = y '

y ' = v + x v '

d y d x =   4 y   -   3 x 2 x   -   y

d y d v = 4 x v - 3 x 2 x - x v

d y d v = 4 v - 3 2 - v

d y = 4 v - 3   d v 2 - v

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y =   ∫ 4 v - 3   d v 2 - v  

y + c = -   4 v - 5 l n v   -   2 + c '

y = -   4 v - 5   l n   v   -   2 + C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

y = -   4 y x - 5   l n   y x   -   2 + C

y   -   x =   C   ( y   +   3 x ) 5

Passo 3

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

vermelha – C =2

azul – C = 4

verde – C = 8

roxa - C = 100000

Ou seja, a medida que o valor de C aumenta mais a curva se aproxima da origem. As curvas são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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