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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 10

Calcule a integral

int x sen^3 x d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

int x sen^3 x d x

Para isso, podemos resolver essa integral através da técnica de integração por partes, onde:

int u d v = u v - int v d u

Onde teremos,

u = x -> d u = d x

d v = sen^3 x d x -> v = - cos x + (1)/(3) cos^3 x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a integração por partes, temos:

int x sen^3 x d x = x (- cos x + (1)/(3) cos^3 x) - int - cos x + (1)/(3) cos^3 x d x

Resolvendo a integral ficamos com:

int x sen^3 x d x = x (- cos x + (1)/(3) cos^3 x) - [- int cos x d x + (1)/(3) int cos^3 x d x] :.

int x sen^3 x d x = x (- cos x + (1)/(3) cos^3 x) - [- sin x + (1)/(3) int cos^3 x d x]

Passo 3

Resolvendo a integral que nos restou, temos:

(1)/(3) int cos^3 x d x = (1)/(3) int cos^2 x * cos x d x

Sabemos que sin^2 u + cos^2 u = 1 , logo:

(1)/(3) int cos^3 x d x = (1)/(3) int (1 - sin^2 x) * cos x d x

Fazendo u = sin x :. d u = cos x d x , temos:

(1)/(3) int (1 - sin^2 x) * cos x d x = (1)/(3) int (1 - u^2) * cos x (d u)/(cos x) :.

(1)/(3) int (1 - sin^2 x) * cos x d x = (1)/(3) int (1 - u^2) * d u :.

(1)/(3) int (1 - sin^2 x) * cos x d x = (1)/(3) (u - (u^3)/(3)) :.

(1)/(3) int (1 - sin^2 x) * cos x d x = (1)/(3) (sin x - (sin^3 x)/(3))

Passo 4

Dessa forma, substituindo na expressão do Passo 2, temos:

int x sen^3 x d x = x (- cos x + (1)/(3) cos^3 x) - {- sin x + [(1)/(3) (sin x - (sin^3 x)/(3))]} + C :.

Reorganizando, obtemos:

int x sen^3 x d x = x (- cos x + (1)/(3) cos^3 x) - (- (2)/(3) sin x - (1)/(9) sin^3 x) + C

Belezinha?? 😉

Resposta

int x sen^3 x d x = x (- cos x + (1)/(3) cos^3 x) - (- (2)/(3) sin x - (1)/(9) sin^3 x) + C

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