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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 10

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 4 w - w 2 - 3   d w

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 4 w - w 2 - 3   d w

Se olharmos no teorema 9.8.4 vamos encontrar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Mas antes de usarmos essa fórmula, precisamos manipular um pouco a integral. Note que

4 w - w 2 - 3 = - w 2 + 4 w - 4 + 4 - 3 = 1 - w 2 - 4 w + 4 = 1 - w - 2 2

Assim,

I = ∫ 1 1 - w - 2 2   d w

Fazendo a mudança de variável u = w - 2 com d w = d u , temos que

I = ∫ 1 1 - u 2   d u

Passo 2

Essa é exatamente a fórmula do teorema 9.8.4 com a = 1 :

I = tanh - 1 ⁡ u + C ,         s e   u < 1 c o t a n h - 1 u + C ,         s e   u > 1   = 1 2 ln ⁡ 1 + u 1 - u + C

Mas como u = w - 2 :

I = tanh - 1 ⁡ ( w - 2 ) + C ,         s e   w - 2 < 1 c o t a n h - 1 ( w - 2 ) + C ,         s e   w - 2 > 1   = 1 2 ln ⁡ w - 1 3 - w + C

Resposta

tanh - 1 ⁡ ( w - 2 ) + C ,         s e   w - 2 < 1 c o t a n h - 1 ( w - 2 ) + C ,         s e   w - 2 > 1   = 1 2 ln ⁡ w - 1 3 - w + C

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